新课标高三数学推理与证明专项训练（河北）

一、选择题

1. 难度：中等

在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n个三角形数为(　　)

A．n　　　　　　　　　　 B.n(n＋1)

C．n²－1                 D.n(n－1)

2. 难度：中等

凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有f(n＋1)条对角线数为(　　)

A．f(n)＋n－1             B．f(n)＋n

C．f(n)＋n＋1             D．f(n)＋n－2

3. 难度：中等

设f₀(x)＝cos x，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x)＝f_n′(x)，n∈N^*，则f₂₀₁₁(x)＝(　　)

A．－sin x                 B．－cos x

C．sin x                    D．cos x

4. 难度：中等

给出下面类比推理命题(其中R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈C，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b” 类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；

④“若a，b∈R，则a·b＝0⇒a＝0或b＝0”．类比推出“若a，b∈C，则a·b＝0⇒a＝0或b＝0”．

其中类比结论正确的个数是(　　)

A．0                       B．1

C．2                        D．3

5. 难度：中等

如下图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a_i，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h_i，若＝＝＝＝k，则＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i， 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i，若＝＝＝＝k，则＝(　　)

A.　　　　B.   C. 　　　　D.

6. 难度：中等

已知函数f(x)＝lg，若，则f(－a)＝(　　)

A．b　　　　B．－b　　　　C. 　　　　D．－

7. 难度：中等

设f(x)＝   则不等式f(x)>2的解集为(　　)

A．(1,2)∪(3，＋∞)            B．(，＋∞)

C．(1,2)∪ ( ，＋∞)        D．(1,2)

8. 难度：中等

已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于(　　)

A．1         B．－1        C．0         D．±1

9. 难度：中等

在等比数列中，a₁＝2，前n项和为S_n，若数列也是等比数列，则S_n＝(　　)

A．2^n＋1－2                     B．3n

C．2n                         D．3ⁿ－1

10. 难度：中等

已知直线l、m，平面α、β，且l⊥m，m∈β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则a∥β；

③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.

其中正确命题的个数是(　　)

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

二、填空题

11. 难度：中等

函数y＝log_a(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_______

12. 难度：中等

定义a*b是向量a和b的“向量积”，它的长度|a*b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a和b的夹角，若u＝(2,0)，u－v＝(1，－)，则|u*(u＋v)|＝_______

13. 难度：中等

对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

2²＝1＋3　 3²＝1＋3＋5　　　4²＝1＋3＋5＋7

2³＝3＋5　 3³＝7＋9＋11　　 4³＝13＋15＋17＋19

根据上述分解规律，则5²＝__________________；

若m³(m∈N^*)的分解中最小的数是21，则m的值为______

14. 难度：中等

有穷数列{a_n}，S_n为其前n项和，定义T_n＝

为数列{a_n}的“凯森和”， 如果有99项的数列a₁、a₂、a₃、…a₉₉的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a₁、a₂、a₃、a₄、…a₉₉的“凯森和”T₁₀₀＝_______

15. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁₀＝0，则有等式

a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋…＋a_19－n(n<19，n∈N^*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b_n}中，若b₉＝1，则等式______________成立                

16. 难度：中等

设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为h_A、h_B、h_C，P到三边的距离依次为l_a、l_b、l_c，则有＋＋＝______；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是h_A、h_B、h_C、h_D，P到这四个面的距离依次是l_a、l_b、l_c、l_d，则有________

三、解答题

17. 难度：中等

由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋……＋>2，你能得出怎样的结论，并进行证明

18. 难度：中等

将正△ABC分割成n²(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．

19. 难度：中等

用反证法证明：如果a>b>0，那么>.

20. 难度：中等

在数列中，a₁＝2，a_n＋1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.

(1)证明数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和S_n；

(3)证明不等式S_n＋1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立