新课标高三数学直线、平面、简单几何体专项训练（河北）

一、选择题

1. 难度：简单

平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则

(　　)

A．a∥\α

B．a∥α

C．a与b一定是异面直线

D．α内可能有无数条直线与a平行

2. 难度：简单

正方体的表面积是a²，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是

(　　)

A.　　　　　　　   　           B.

C．2πa²                                    D．3πa²

3. 难度：简单

若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为

(　　)

A．1                                        B．2

C．3                                        D．4

4. 难度：简单

．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是

A．若α∥β，则m⊥n  B．若α⊥β，则m∥n

C．若m⊥n，则α∥β  D．若n∥α，则α∥β

5. 难度：简单

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是

(　　)

A.                                        B.

C.                                        D.

6. 难度：简单

设有三个命题，

甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；

丙：直四棱柱是直平行六面体．

以上命题中，真命题的个数有

(　　)

A．0个                                    B．1个

C．2个                                    D．3个

7. 难度：简单

如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是

(　　)

A．正方形                               B．矩形

C．菱形                                   D．一般的平行四边形

8. 难度：简单

若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是(　　)

A.                                        B.

C.                                        D.

9. 难度：简单

正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面ABC₁D₁的距离为

(　　)

A.                                          B.

C.                                        D.

10. 难度：简单

已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β

C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

11. 难度：简单

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD₁、D₁C₁的中点，则直线OM

(　　)

A．和AC、MN都垂直

B．垂直于AC，但不垂直于MN

C．垂直于MN，但不垂直于AC

D．与AC、MN都不垂直

12. 难度：简单

如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的射影H必在

(　　)

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

二、填空题

13. 难度：简单

若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______

14. 难度：简单

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为a，点E为AA₁的中点，在对角面BB₁D₁D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为_____

15. 难度：简单

a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；

⑤若a，b与c成等角，则a∥b.

上述命题中正确的________(只填序号)．                

16. 难度：简单

如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)

三、解答题

17. 难度：简单

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．

(1)求证：CD⊥PD；

(2)求证：EF∥平面PAD.

18. 难度：简单

在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．

(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；

(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°

19. 难度：简单

如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)证明：线段PC的中点为球O的球心

20. 难度：简单

如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；

(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.

21. 难度：简单

已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；

(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

22. 难度：简单

如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．

(1)若＝，求证：无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN；

(2)若D₁P：PD＝1∶2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M－B₁N－B的余弦值；

(3)棱DD₁上是否总存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？证明你的结论．