新课标高三数学空间向量及其运算、角的概念及其求法和空间距离专项训练（河北）

一、选择题

1. 难度：简单

在以下四个式子中正确的有(　　)

a＋b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|＝|a||b|

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．0个

2. 难度：简单

已知a＝(1－t,1－t ，t), b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)

A.      B.      C.      D.

3. 难度：简单

已知向量a＝(1, 2, 3), b ＝(－2，－4，－6)，|c|＝， 若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)

A．30°      B．60°      C．120°      D．150°

4. 难度：简单

平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为AC和BD的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列式子中与相等的是(　　)

A．－a＋b＋c          B.a＋b＋c

C.a－b＋c              D．－a－b＋c

5. 难度：简单

已知a＝(2，－1,3 ) ，b＝(－1,4，－2 ) ，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)

A.  B．9  C.  D.

6. 难度：简单

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，AA₁＝1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为(　　)

A.　　   　B.　　   　C.　   　　D.

7. 难度：简单

一个正方体的展开图如右图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为 (　　)

A.  　　    　B.

C.  　　    　D.

8. 难度：简单

设E，F是正方体AC₁的棱AB和D₁C₁的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A₁ECF成60°角的对角线的数目是(　　)

A．0        B．2        C．4        D．6

9. 难度：简单

如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AA₁、BB₁的中点，G为棱A₁B₁上的一点，且A₁G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D₁EF的距离为(　　)

A.               B.

C.              D.

10. 难度：简单

已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为(　　)

A．2          B．3          C．        4  D．5

二、填空题

11. 难度：简单

已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_______

12. 难度：简单

已知a ＝ (1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b垂直，则k的值为________

13. 难度：简单

下列命题中不正确的命题是________．

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋ ＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面

14. 难度：简单

如右图，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是________．

15. 难度：简单

已知∠AOB＝90°，C为空间中一点，且∠AOC＝∠BOC＝60°，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为_________                

16. 难度：简单

PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________

三、解答题

17. 难度：简单

试用向量证明三垂线定理及其逆定理．

18. 难度：简单

已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．

(1)化简＋＋，并在图形中标出其结果；

(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ之值．

19. 难度：简单

如右图所示，等腰三角形△ABC的底边AB＝6，高CD＝3，

点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACEF的体积．

 (1)求V(x)的表达式；

 (2)当x为何值时，V(x)取得最大值？

 (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

20. 难度：简单

如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC₀D中，AD＝BD＝1，AB＝.沿它的对角线BD把△BDC₀折起，使点C₀到达平面ABC₀D外点C的位置．

(1)证明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；

(2)如果△ABC为等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小