辽宁省10-11学年高二下学期期末考试数学（理）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁＝2＋i，z₂＝1＋i，则在复平面内对应的点位于       (　　)

A．第一象限                     B．第二象限

C．第三象限             D．第四象限

2. 难度：中等

若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(1)成立，则下列结论正确的是                                                                         (　　)

A．p(n)对所有自然数n都成立          B．p(n)对所有正偶数n成立

C．p(n)对所有正奇数n都成立          D．p(n)对所有大于1的自然数n成立

3. 难度：中等

用数学归纳法证明“对于的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值应取（    ）

A. 1          B. 3      C. 6      D.10

4. 难度：中等

已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直 线）行驶．甲车、

乙车的速度曲线分别为（如右图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一

定正确的是（    ）

A. 在时刻，甲车在乙车前面    B. 时刻后，甲车在乙车后面

C. 在时刻，两车的位置相同    D. 时刻后，乙车在甲车前面

5. 难度：中等

设θ是三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程＋＝1所表示的曲线

为(　　)

A．焦点在x轴上的椭圆     B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线   D．焦点在y轴上的双曲线

6. 难度：中等

定义在R上的函数的值

为（   ）

A．2                               B．0                        C．—1                     D．1

7. 难度：中等

．如图所示，从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x²＋y²＝a²的切线，切

点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－

|MT|与b－a的大小关系为   (　　)

A．|MO|－|MT|>b－a                B．|MO|－|MT|＝b－a

C．|MO|－|MT|<b－a              D．不确定

8. 难度：中等

已知点、，是直线上任意一点，以、为

焦点的椭圆过点.记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（   ）                                                                                        

A.与一一对应             B.函数无最小值，有最大值

C.函数是增函数          D.函数有最小值，无最大值

9. 难度：中等

右图是函数的部分图象，则函数的零点所

在的区间是（    ）

A．        B．     C．     D．

10. 难度：中等

若椭圆：（）和椭圆：   

（）的焦点相同且.给出如下四个结论：

①椭圆和椭圆一定没有公共点；           ②；

③ ；                      ④.

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．②③④        B. ①③④             C．①②④         D. ①②③

11. 难度：中等

三次函数在[1，2]内恒为正值的充要条件为（    ）

A．                       B．              C．        D．

12. 难度：中等

设，为不同的两点，直线，，

以下命题中正确的序号为（    ）．

不论为何值，点N都不在直线上；

若，则过M，N的直线与直线平行；

若，则直线经过MN的中点；

若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交．

A．(1)(2)(3)      B.(2)(3)(4)    C.(1)(3)(4)     D.(1)(2)(3)(4)

二、填空题

13. 难度：中等

满足复数在复平面上的对应点的轨迹是                  

（注意仅回答轨迹类型不给分）

14. 难度：中等

设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟

方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数

和，由此得到个点。再数出其中满足

的点数，那么由随机模拟方法计算积分的近似值为__                          

15. 难度：中等

一个顶点在下，底面在上的圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以

的速度向该容器注水，则水深10时水面上升的速度为         

16. 难度：中等

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．

三、解答题

17. 难度：中等

(本小题满分12分)（1）对于定义在上的函数，满足，求证：函数在上是减函数；

（2）请你认真研读（1）中命题并联系以下命题：若是定义在上的可导函数，满足，则是上的减函数。然后填空建立一个普遍化的命题：

设是定义在上的可导函数，，若    +，

则         是上的减函数。

注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合。

（3）证明（2）中建立的普遍化命题。

18. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数，其图像记为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，求证：为定值；

19. 难度：中等

（本小题满分12分）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第年初的总量，，且。不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正数其中称为捕捞强度。

（1）求与的关系式；

（2）设，为了保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论。

20. 难度：中等

（本小题满分12分）已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限，如图．

（Ⅰ）求切点的纵坐标；

（Ⅱ）若离心率为的椭圆  恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线的斜率分别为，若，求椭圆方程．

21. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：.

22. 难度：中等

选做题（本小题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题纸上所选题目的方框内打“√”。

22．选修4－1：几何证明选讲。

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。

（1）求证：是圆的切线；

（2）若，求的值。

23. 难度：中等

选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；

（1）若，求直线的倾斜角的取值范围；

（2）求弦最短时直线的参数方程。

24. 难度：中等

选修4-5 不等式选讲

已知函数

（I）试求的值域；

（II）设，若对，恒有成立，试求实数a的取值范围。