河北省高三下学期第二次考试数学（理）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，，则集合的子集个数为（  ）

A、2      B、3       C、4       D、8

2. 难度：简单

若等比数列的前项和，则复数的值为（  ）

   A、1      B、       C、－1       D、

3. 难度：简单

设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（  ）

   A、当时，若，则

   B、当，且是在内的射影时，若，则

   C、当，且时，若，则

D、当时，若，则

4. 难度：简单

已知的图像与的图像关于点对称，则在区间上满足的的范围是（  ）

  A、  B、  C、  D、 

5. 难度：简单

甲、乙、丙3名学生安排在周一至周五的5天中参加某项公益活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位同学前面，那么不同的安排方法共有（  ）

   A、20种      B、30种      C、40种      D、60种

6. 难度：简单

某公园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2m处达到最高，最高高度为8m.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为（  ）

   A、5m      B、3.5m      C、5.5m      D、7.5m

7. 难度：简单

已知，若，则（  ）

   A、    B、     C、    D、

8. 难度：简单

已知直线与圆交于A、B两点，且（其中O为原点），则实数等于（  ）

   A、           B、     C、            D、

9. 难度：简单

二项式的展开式中所得的多项式中，系数为有理数的项共有（  ）

A、4项      B、5项      C、6项      D、7项

10. 难度：简单

过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于点A、B，交其左准线于点C，若，则此直线的斜率为（  ）

    A、         B、      C、     D、 

11. 难度：简单

某旅游城市有5个景点，这5个景点间的路线距离（单位：十公里）见右表，若以景点A为起点，景点E为终点，每个景点经过且只经过一次，那么旅游公司开发的最短路线距离为（  ）

A、20.6      B、21      C、22       D、23

12. 难度：简单

设函数是定义域为R的奇函数，且满足对一切恒成立，当时，.则下列四个命题中正确的命题是（  ）

①是以4为周期的周期函数；②在上的解析式为；

③图象的对称轴中有；④在处的切线方程为.

A、①②③      B、②③④      C、①③④      D、①②③④

二、填空题

13. 难度：简单

已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项，则数列的前项和               .

14. 难度：简单

若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为S.那么区域S的面积是          .

15. 难度：简单

已知正三棱锥的外接球的球心O满足,且外接球的体积为，则该三棱锥的体积为               .

16. 难度：简单

下列结论：①是函数的周期为的充要条件；②老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；③若“存在，使得”是假命题，则；④某人向一个圆内投镖，则镖扎到该圆的内接正三角形区域内的概率为.其中正确的是             .

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分10分）已知向量，.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）设，求的取值范围．

18. 难度：简单

（本小题满分12分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为，求随机变量的分布列和期望.

19. 难度：简单

（本小题满分12分）已知数列、的前n项和分别为、，

且满足，.

（Ⅰ）求、的值，并证明数列是等比数列；

（Ⅱ）试确定实数的值，使数列是等差数列.

20. 难度：简单

（本小题满分12分）已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，,，二面角P－AB－C为，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．

（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；                

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值.

21. 难度：简单

（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，

直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF₂的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

22. 难度：简单

（本题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：.