2011-2012学年上海市高三模拟考试理科数学

一、填空题

1. 难度：中等

函数的定义域为­­­­­­­­­­­­­­­­­­­       

2. 难度：中等

已知集合，若则的值是­­­­­­­­­­­­­­­­­­­         。

3. 难度：中等

若是单位矩阵，则          .

4. 难度：中等

已知为复数，若，则       ．

5. 难度：中等

.在的展开式中项的系数为      ．

6. 难度：中等

若关于的三元一次方程组有唯一解，则的取值的集合

是­­­­­­­­­­­­­­­­­­­            ．

7. 难度：中等

已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是    ．(飞机的飞行高度忽略不计)

8. 难度：中等

.已知等差数列的各项均不为零，且公差，若是一个与无关的常数，

则        ．

9. 难度：中等

已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差       .

	0	4	8

10. 难度：中等

在极坐标系中，点，为曲线的对称中心，则三角形面积等于 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­            ．

11. 难度：中等

若框图所给的程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的判断条件是        

12. 难度：中等

若函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一定过点         .

13. 难度：中等

用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；④若，则的概率为.则所有正确命题的序号是         .

14. 难度：中等

设，且为常数。若存在一公差大于的等差数列，使得为一公比大于的等比数列，请写出满足条件的一组的值        .(答案不唯一，一组即可)

二、选择题

15. 难度：中等

若直线的一个法向量，则直线的一个方向向量和倾斜角分别为( )

A.          B.

C.        D.

16. 难度：中等

.在△中，“”是“△为钝角三角形”的(　　)

A.充分必要条件                      B.必要不充分条件

C.充分不必要条件　　　　　　　　　　 D.既不充分又不必要条件

17. 难度：中等

.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为(       ) 

A.        B.

C.        D.

18. 难度：中等

已知数据

是上海普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是(     )

A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

三、解答题

19. 难度：中等

(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)

在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设

(1)求的值；

(2)求直线到平面的距离。

20. 难度：中等

(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)

在中， 分别为角的对边，且满足.

(1)求角大小；(2)若，求的面积的最大值.

21. 难度：中等

(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求的值及的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

22. 难度：中等

.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)

如图，已知椭圆，，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，证明；

(3)是否存在常数，使得

恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

23. 难度：中等

(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1) 若点为抛物线准线上

一点，点，均在该抛物线上，并且直线经

过该抛物线的焦点，证明.

(2)若点要么落在所表示的曲线上，

要么落在所表示的曲线上，并且,

试写出（不需证明）；

(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.