2011-2012学年上海市高三第一学期期中考试试题数学

一、填空题

1. 难度：中等

设集合，，则_________________

2. 难度：中等

函数的反函数为 ______________

3. 难度：中等

若，，则tan=_______________

4. 难度：中等

函数的定义域为___________________

5. 难度：中等

方程的解是______________________

6. 难度：中等

在等差数列中，那么的值是_______________

7. 难度：中等

设关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是______________

8. 难度：中等

给出如下两个命题：命题A：函数为增函数；命题B：方程（）有虚根．若A与B中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是___________________

9. 难度：中等

已知，则不等式的解集是_________________

10. 难度：中等

若f（x）是R上的减函数，并且f（x）的图象经过点A（0,3）和B（3,1），则不等式|f（x1）1|<2的解集为__________

11. 难度：中等

函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为______________

12. 难度：中等

．给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1成立；        ②存在实数α，使sinα+cosα=成立；  ③函数是偶函数；    ④方程是函数的图象的一条对称轴方程；⑤若α．β是第一象限角，且α>β，则tgα>tgβ。其中正确命题的序号是__________________

13. 难度：中等

定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式。如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则=_______________

14. 难度：中等

记不超过x的最大整数为，令，则函数：   ①定义域为R；  ②值域为；③在定义域上是单调增函数；    ④是周期为1的周期函数；   ⑤是奇函数。其中正确判断的序号是_________________（把所有正确的序号都填上）

二、选择题

15. 难度：中等

等差数列的前n项和为是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（    ）

    A．S13  B．S15  C．S7   D．S8

16. 难度：中等

若，有下面四个不等式：（1）;（2）a<b （3）a+b<ab; （4）,不正确的不等式的个数是（    ）

    A．0               B．1                C．2               D．3

17. 难度：中等

函数是增函数的一个充分非必要条件是（    ）

    A．且                    B．且

    C．且                   D．且

18. 难度：中等

对于给定的自然数，如果数列满足：的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称是“的覆盖数列”。如1,2,1 是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是 “3的覆盖数列” 为（    ）

A．1,2,3,3,1,2,3        B．1,2,3,2,1,3,1

 C．1,2,3,1,2,1,3      D．1,2,3,2,2,1,3

三、解答题

19. 难度：中等

本题满分12分，每小题各4分）

    已知函数，

    （1）若函数的值域为，求实数a的值；

    （2）若函数的递增区间为，求实数a的值；       

    （3）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

（本题满分14分，第（1）小题8分，第（2）小题6分）

    已知函数。

    （1）求函数的最小正周期和单调递增区间；    

    （2）若恒成立，求的取值范围。

21. 难度：中等

（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）

某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升） 满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于 （毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 （毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。

    （1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?

    （2）如果投放的药剂质量为，为了使在7天之内（从投放药剂算起包括7天）的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的值。

22. 难度：中等

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

设， 定义一种向量的运算：，点P（x，y）在函数的图像上运动，点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点）

    （1）求函数f（x）的解析式；

    （2）若函数值域为，求a，b的值。

23. 难度：中等

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列。

    （1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；

    （2）设数列的前项和为，且．

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

    （3）设数列满足（），，，，数列 的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，    说明理由；