2011-2012学年上海市徐汇区高三第一学期学习能力诊断卷理科数学

一、填空题

1. 难度：中等

函数的反函数的图象经过点，则实数=

2. 难度：中等

若全集，则

3. 难度：中等

从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）、、、、，则该样本方差

4. 难度：中等

已知，则的值为

5. 难度：中等

根据右图所示的程序框图，输出结果

6. 难度：中等

、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数（是虚数单位）为实数的概率 (结果用最简分数表示)

7. 难度：中等

若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中项的系数为

8. 难度：中等

已知函数的定义域为，值域为，试确定这样的集合最多有        个

9. 难度：中等

已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是，向量，，若⊥，边长，角C =，则ΔABC的面积是

10. 难度：中等

已知函数，当时，函数的零点，则

11. 难度：中等

已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为

12. 难度：中等

如图所示：中，点是中点。过点的直线分别交直线、于不同两点、。若，则的值W为

13. 难度：中等

设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时， 。若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是                

14. 难度：中等

如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上（其中点的坐标为），矩形的面积记为，则=           

二、选择题

15. 难度：中等

设为实数，则“”是“”的 （    ）

（A）充分不必要条件                    （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件                      （D）既不充分又不必要条件

16. 难度：中等

已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 （    ）

（A）           （B）

（C）       （D）

17. 难度：中等

正方体的棱长为1，线段上有两个动点，若，则下列结论中错误的是（   ）

（A）                        （B）平面

（C）三棱锥的体积为定值       （D）直线与平面所成角为定值

18. 难度：中等

由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有……………………（    ）

①第2列必成等比数列       ②第1列不一定成等比数列

③                  ④若9个数之和等于9，则

（A）4个            （B）3个           （C）2个            （D）1个

三、解答题

19. 难度：中等

（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

已知复数，（，是虚数单位）。

（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围

（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.

20. 难度：中等

（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

如图，已知平面，，，,分别是的中点.

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.

21. 难度：中等

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元。

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

22. 难度：中等

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分,

第3小题满分6分.

设把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为，且关于的不等式的解集为。各项均为正数的数列的前项和为，点列在函数的图象上。

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的值；

（3）令，求数列的前项中满足的所有项数之和.

23. 难度：中等

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分,

第3小题满分7分.

对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“U型”函数。

（1）求证：函数是上的“U型”函数；

（2）设是（1）中的“U型”函数，若不等式对一切的恒成立，

求实数的取值范围；

（3）若函数是区间上的“U型”函数，求实数和的值.