2011-2012学年北京市高三下学期开学检测文科数学试卷

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的虚部是（     ）

A.             B. i                         C.                 D. i

2. 难度：中等

集合，，则等于（     ）

  A.    B.     C.      D.

3. 难度：中等

等差数列的前n项和是S_n，若，，则S₁₀的值为（     ）

A.55               B.60                 C.65                 D.70

4. 难度：中等

“a =2”是直线ax+2y=0与直线x+y=1平行的（    ）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  

C.充要条件           D.既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知△中，a、b、c分别为A，B，C的对边，a=4，b=4，，则等于（    ）

A.30°              B. 30°或150°    C.60°               D. 60°或120°

6. 难度：中等

双曲线mx²+ y²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（     ）

A.-               B.-4               C.4                  D.

7. 难度：中等

设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是（     ）

A.若m∥，n∥，则m∥n           

B.若，，m∥，n∥，则∥

C.若，，则       

D. 若，，，则 m∥

8. 难度：中等

偶函数f(x)满足f (x-1)= f (x+1),且在x[0,1]时，f (x)=1-x，则关于x的方程f (x)=()^x，在x[0,3]上解的个数是（     ）

A.1                B.2                  C.3                  D.4

9. 难度：中等

已知函数f(x)=的图象（部分）如图所示，则f(x)的解析式是（    ）

A. f(x)=2sin

B. f(x)=2sin

C. f(x)=2sin

D. f(x)=2sin

10. 难度：中等

设x、y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为（    ）

  A.                B.                   C.                 D.4

11. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 （     ）

A.288+36     B.60      C.288+72      D.288+18

12. 难度：中等

已知双曲线的左右焦点是F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为｜｜，且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为

A.         B.         C.            D.

二、填空题

13. 难度：中等

设，，是单位向量，且=+，则向量，的夹角等于          .

14. 难度：中等

以点（2，-1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是         .

15. 难度：中等

已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为            .

16. 难度：中等

已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形    ②△ABC可能是直角三角形

③△ABC可能是等腰三角形    ④△ABC不可能是等腰三角形

其中，正确的判断是                  .

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知函数且函数f(x)的最小正周期为.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若f(B)=1，且，试求的值.

18. 难度：中等

（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.

（Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC

（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；

（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积.

19. 难度：中等

（本小题满分12分）已知是递增的等差数列，满足

（1）求数列的通项公式和前n项和公式；

（2）设数列对均有…+成立，求数列的通项公式.

20. 难度：中等

（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

21. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数

（1）当m=2时，求曲线在点（1，f(1)）处的切线方程；

（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

22. 难度：中等

（本小题满分14分）如图，椭圆的焦点在x轴上，左右顶点分别为A₁，A，上顶点B，抛物线C₁，C₂分别以A₁，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C₁与C₂相交于直线上一点P.

（1）求椭圆C及抛物线C₁，C₂的方程；

（2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点，求的最小值.