2011-2012学年北京市高三期末模拟考试理科数学试卷（四）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集，则图中阴影部分表示的集合为 (    )

A.         B.    C.   D.

2. 难度：中等

设,则“且”是“且”的(    )

A．充分不必要条件   B.必要不充分条件    C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

各项为正数的等比数列中，，则的值为（    ）

A．3        B．4          C．5         D．6

4. 难度：中等

已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是(    )

A.     B.     C.8       D.12

5. 难度：中等

△ABC的三个内角，，所对的边分别为， ，，，则（    ）         

   A．       B．     C．       D．

6. 难度：中等

若函数,若,则实数的取值范围是（    ）

A.           B. 

C.         D.

7. 难度：中等

点P是以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足，则此双曲线的离心率为                  （　  ）

A．         B．          C．          D．

8. 难度：中等

已知关于的函数，若点是区域

内任意一点,则函数在上有零点的概率为（     ）

A．       　　B．    　　C．         　D． 

二、填空题

9. 难度：中等

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是          .

10. 难度：中等

若复数（）为纯虚数，则＝_______.

11. 难度：中等

已知二项式展开式中的二项式系数和为64，则展开式的常数项为___________

12. 难度：中等

已知向量，，满足，且，， ，则  

13. 难度：中等

某工厂有三个车间生产不同的产品，现将7名工人全部分配到这三个车间，每个车间至多分3名，则不同的分配方法有           种．（用数字作答）

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.此时，由直线、函数及直线x=4围成封闭图形的面积是______________

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数

（Ⅰ）求的单调递增区间；         

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是、b、c满足，求的取值范围.

16. 难度：中等

已知数列为等差数列，且

   (1)求数列的通项公式；  

 (2)证明：

17. 难度：中等

某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

(ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望.

18. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

（1）求证：AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

19. 难度：中等

如图，已知椭圆C:的左、右焦点为，其上顶点为.已知是边长为的正三角形.

（1）求椭圆C的方程；  

 (2) 过点任作一直线交椭圆C于两点，记若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在,请求出该定直线的方程，若不在,请说明理由.

20. 难度：中等

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，

（I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，;

（II）如果，且，证明．