2011-2012学年北大附中高三2月统练理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

设全集，，则   （   ）

A．    B．    C．    D．

2. 难度：中等

已知命题p：， ，命题q：，，则 （   ）

A ．命题是假命题           B． 命题是真命题

C． 命题是假命题        D． 命题是真命题

3. 难度：中等

若，则的值是           （   ）

A．        B．       C．       D．

4. 难度：中等

执行如右图所示的程序框图，输出的S值为      （   ）

A．    　B．

C．       　 D．

5. 难度：中等

从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有       （   ）

A．300种         B．240种   C．144种    D．96种

6. 难度：中等

直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是  （   ）

A．   B．   C．   D．

7. 难度：中等

已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且．设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（   ）

8. 难度：中等

如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 （   ）

A．       B．   

C．       D． 

二、填空题

9. 难度：中等

的展开式中的常数项是              （用数字作答）．

10. 难度：中等

已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有           辆．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为           ． 

12. 难度：中等

某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为，则当每台机器运转      年时，年平均利润最大，最大值是     万元．

13. 难度：中等

平面向量中，已知，，且，则向量=________．

14. 难度：中等

已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，以下命题：

①若直线的倾斜角为，则；

②；

③过分别作准线的垂线，垂足分别为,，则；

④连接,并延长分别交抛物线的准线于，两点，则以为直径的圆过焦点

其中真命题的序号为              ．

三、解答题

15. 难度：中等

在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，且，，求的值．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC₁=4，M是棱CC₁上一点

（Ⅰ）求证：BC⊥AM；

（Ⅱ）若M，N分别是CC₁，AB的中点，求证：CN //平面AB₁M；

（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大小．

17. 难度：中等

某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的

（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知函数（，为正实数）．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆两个焦点的坐标分别为，，并且经过点．过左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点． 设，延长，分别与椭圆交于两点．

（I）求椭圆的标准方程；   （II）若点，求点的坐标；

（III）设直线的斜率为，求证：为定值．

20. 难度：中等

设数列中，若，则称数列为“凸数列”．

（Ⅰ）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

（Ⅱ）在“凸数列”中，求证：；

（Ⅲ）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和．

21. 难度：中等

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．