2011-2012学年新课标高三上学期单元测试数学

一、选择题

1. 难度：中等

若，为虚数单位，且，则（    ）

    A．，                         B．

    C．                        D．

2. 难度：中等

（曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（    ）

    A．―9              B．―3              C．9                D．15

3. 难度：中等

（理）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（    ）

    A．第一象限             B．第二象限     C．第三象限         D．第四象限

4. 难度：中等

（文）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（    ）

  A．　　   B．       C．　    D．

5. 难度：中等

i是虚数单位，若集合S=，则（    ）

    A．            B．           C．           D．

6. 难度：中等

设f₀(x)＝sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x)＝f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₆(x)＝（  　）

　  A．sinx　           B．－sinx　         C．cosx　           D．－cosx

7. 难度：中等

函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是（    ）

  A．                           B． 

  C．                          D．

8. 难度：中等

．函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（    ）

  A．第I象限         B．第II象限        C．第Ⅲ象限         D．第IV象限

9. 难度：中等

（理）等于（    ）

    A．1                B．             C．               D．

10. 难度：中等

（文）下列式子中与相等的是（    ）

　  （1）；     （2）；

　  （3）   （4）。

    A．（1）（2）         B．（1）（3）         C．（2）（3）         D．（1）（2）（3）（4）

11. 难度：中等

．对于上的任意函数，若满足，则必有（　　）

  Ａ．                 Ｂ．

    Ｃ．                 Ｄ．

12. 难度：中等

曲线在点处的切线的斜率为（    ）

A．           B．            C．            D．

13. 难度：中等

设，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为 （    ）

  A．             B．                C．               D．

14. 难度：中等

（理）若，令，则的值为（    ）（其中）

  A．1              B．              C．            D．

15. 难度：中等

（文）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（    ）

  A．      B．          C．          D．

二、填空题

16. 难度：中等

曲线在点（1，1）处的切线方程为               。

17. 难度：中等

已知复数：，复数满足，则复数         。

18. 难度：中等

．曲线y=x³在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_         _。

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

三、解答题

20. 难度：中等

（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。

21. 难度：中等

（12分）已知复数满足，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，点A、B、C分别对应复数，如图所示，求z的值。

22. 难度：中等

．（12分）（理）抛物线y=ax²＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S_max．

23. 难度：中等

（文）如图，从点P₁（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=e_x于点Q₁（0,1），曲线在Q₁点处的切线与x轴交与点P₂。再从P₂作x轴的垂线交曲线于点Q₂，依次重复上述过程得到一系列点：P₁，Q_I；P₂，Q₂…P_n，Q_n，记点的坐标为（，0）（k=1,2，…，n）。

（Ⅰ）试求与的关系（2≤k≤n）；

（Ⅱ）求

24. 难度：中等

（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.

25. 难度：中等

（14分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明 其中和均为常数；

（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。

26. 难度：中等

（14分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致

（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；

（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a―b|的最大值