2011-2012学年江苏省南京市高三年级学情调研卷数学

一、填空题

1. 难度：中等

命题“$x∈R，x²－2x＋1≤0”的否定是   ▲  

2. 难度：中等

已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是   ▲   

3. 难度：中等

设复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模是    ▲   ．

4. 难度：中等

某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的件数之比为1:2:2，则乙生产线生产了    ▲    件产品

5. 难度：中等

有四条线段，其长度分别为2，3，4，5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是   ▲  

6. 难度：中等

阅读右面的流程图．若输入x的值为8，则输出y的值是    ▲    ．

7. 难度：中等

设函数f(x)＝的定义域为集合A，则集合A∩Z中元素的个数是   ▲    ．

8. 难度：中等

已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝，则f(－4)的值是   ▲    ．

9. 难度：中等

△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA＝acosC，则角C＝  ▲   ．

10. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁＝，a₄＝－4，则| a₁|＋| a₂|＋…＋| a₆|＝     ▲     ．

11. 难度：中等

已知a，b均为单位向量．若∣a＋2b∣＝，则向量a，b的夹角等于   ▲   

12. 难度：中等

如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是   ▲    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²＝4x的焦点为F，准线为l．过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作l的垂线，垂足为A₁，则△AA₁F的面积是    ▲  

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx＋1与曲线y＝∣x＋∣－∣x－∣有四个公共点，则实数k的取值范围是   ▲   ．

二、解答题

15. 难度：中等

（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin²x．

（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D、E分别在边BC、

B₁C₁上，CD＝B₁E＝AC，ÐACD＝60°．

求证：（1）BE∥平面AC₁D；

（2）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．

17. 难度：中等

（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

18. 难度：中等

（本小题满分16分）经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u(单位：资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．

（1）设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；

（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

19. 难度：中等

（本小题满分16分）已知函数f(x)＝x²－(1＋2a)x＋alnx(a为常数)．

（1）当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

（2）当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

20. 难度：中等

（本小题满分16分）设等差数列{a_n}的前n项和是S_n，已知S₃＝9，S₆＝36．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）是否存在正整数m、k，使a_m，a_m＋5，a_k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；

（3）设数列{b_n}的通项公式为b_n＝3n－2．集合A＝{x∣x＝a_n，n∈N^*}，B＝{x∣x＝b_n，n∈N^*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通项公式．

21. 难度：中等

选修4—1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC．

22. 难度：中等

选修4—2：矩阵与变换

23. 难度：中等

选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线l：rcos(q＋)＝，圆C：r＝4cosq，求直线l被圆C截得的弦长．

24. 难度：中等

选修4—5：不等式选讲

解不等式：∣2x－1∣＋3x＞1．

25. 难度：中等

一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红球个数．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为随机变量X．若P(X＝2)＝．

（1）求口袋中的白球个数；

（2）求X的概率分布与数学期望．

26. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC₁，D₁A₁的中点．

（1）求证： B₁D^平面PQR；

（2）设二面角B₁－PR－Q的大小为q ，求|cosq |．