2011-2012学年江苏省南通市通州区高三重点热点专项检测数学

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，，若，则锐角    ▲    ．

2. 难度：中等

若 , ，且为 纯 虚 数，则 实 数 的 值为    ▲    ．

3. 难度：中等

某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为，则    ▲    ．

4. 难度：中等

．命题p：函数在上单调递增，命题q：中，是的充要条件，则是    ▲    命题．（填“真”“假”）

5. 难度：中等

平面向量与的夹角为，，，则    ▲    ．

6. 难度：中等

执行如图的程序框图，若输出，则整数的最小值是    ▲    ．

7. 难度：中等

．设，若，则实数的取值范围是    ▲    ．

8. 难度：中等

将函数的图像向左平移至少   ▲   个单位，可得一个偶函数的图像．

9. 难度：中等

设函数，若成等差数列（公差不为零），则   ▲   ．

10. 难度：中等

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α；   ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；

③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα；  ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．

其中正确命题的序号有    ▲    ．

11. 难度：中等

在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围是    ▲    ．

12. 难度：中等

设函数最大值为，则的最小值为

        ▲    ．

13. 难度：中等

已知， ：与：

交于不同两点，且，则实数的值为▲

14. 难度：中等

已知等比数列满足，，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，则公比的取值集合为    ▲    ．

二、解答题

15. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知向量与互相垂直，其中．

（1）求和的值；

（2）若，求的值．

16. 难度：中等

．（本小题满分14分）

已知矩形所在平面，，为线段上一点，为线段 

的中点．（1）当E为PD的中点时，求证：；

（2）当时，求证：BG//平面AEC．

17. 难度：中等

．（本小题满分14分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收 

益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单

位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．现

有两个奖励方案的函数模型：（1）；（2）．试问这两个函数模

型是否符合该公司要求，并说明理由．

18. 难度：中等

．（本小题满分16分）

已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值

范围．

19. 难度：中等

．（本小题满分16分）

函数，其中为常数．

（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；

（2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．

20. 难度：中等

．（本小题满分16分）

数列中，，，且．

（1）求及的通项公式；

（2）设是中的任意一项，是否存在，使成等比数列？如存在，试分别写出和关于的一个表达式，并给出证明；

（3）证明：对一切，．

21. 难度：中等

选修4—1：矩阵与变换

已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应

的一个特征向量，试求矩阵A．

22. 难度：中等

．选修4—4：极坐标与参数方程

将参数方程为参数化为普通方程．

23. 难度：中等

．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．

（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数

，且，使得”的概率；

（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．

24. 难度：中等

．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中.