2011-2012学年江苏省高三第一次学情调研测试数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集，集合，，那么集合=___▲___.

2. 难度：中等

我校高三(18)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为___▲___.

3. 难度：中等

设复数，若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为___▲___.

4. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则最后输出的___▲___.

5. 难度：中等

将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率等于___▲___.

6. 难度：中等

设是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：

①若；                    ②若；

③若l上有两点到的距离相等，则l//；     ④若．

其中正确命题的序号是___▲___.

7. 难度：中等

在等比数列中，，公比为q，前n项和为，若数列也是等比数列，则=___▲___.

8. 难度：中等

已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是___▲___.

9. 难度：中等

设是定义在上以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为___▲___.

10. 难度：中等

设和是抛物线上的两个动点，在和处的抛物线切线相互垂直，已知由及抛物线的顶点所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为．对重复以上过程，又得一抛物线，以此类推．设如此得到抛物线的序列为，若抛物线的方程为，经专家计算得，

，                      

，

，

，

．

则=___▲___.

11. 难度：中等

已知O是△ABC的外心，若，且，则___▲___.

12. 难度：中等

已知A、B、C是平面上任意三点，BC=a，CA=b，AB=c，则的最小值是___▲___.

13. 难度：中等

已知点F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率=___▲___.

14. 难度：中等

已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值M与最小值m的差为，则=___▲___.

二、解答题

15. 难度：中等

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，⊥平面，为的中点，为的中点，求证：（Ⅰ）平面⊥平面；（Ⅱ）//平面.

16. 难度：中等

（本小题满分14分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点，与钝角的终边交于点，设.

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）如果,求点的坐标；

（Ⅲ）求的最小值.

17. 难度：中等

（本小题满分14分）某工厂统计资料显示，一种产品次品率与日产量件之间的关系如下表所示：

日产量	80	81	82	…		…	98	99	100
次品率				…	P（）	…

其中（为常数）.已知生产一件正品盈利元，生产一件次品损失元（为给定常数）.（Ⅰ）求出，并将该厂的日盈利额（元）表示为日生产量（件）的函数；

（Ⅱ）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？

18. 难度：中等

（本小题满分16分）已知点在双曲线上，圆C：与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4.（Ⅰ）求双曲线M的方程；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）过圆C内一定点Q（s，t）（不同于点C）任作一条直线与圆C相交于点A、B，以A、B为切点分别作圆C的切线PA、PB，求证：点P在定直线l上，并求出直线l的方程.

19. 难度：中等

（本小题满分16分）已知函数.

（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

20. 难度：中等

（本小题满分16分）已知数列，满足，其中.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，且.

（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；

（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.

21. 难度：中等

选修4－2　矩阵与变换   已知，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵．

22. 难度：中等

选修4－4　坐标系与参数方程   已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的倾斜角；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．

23. 难度：中等

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”.（Ⅰ）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为， 如果，求的取值范围．

24. 难度：中等

已知多项式.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n，是否一定是整数？并证明你的结论．