2011-2012学年江苏省高三下学期开学质量检测数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.

2. 难度：中等

函数f(x)＝log₅(2x＋1)的单调增区间是________．

3. 难度：中等

设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．

4. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．

5. 难度：中等

从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______．

6. 难度：中等

已知向量，的夹角为，，，若点M在直线OB上，则的最小值为         ．

7. 难度：中等

已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则=         ．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

9. 难度：中等

已知函数①；②；③；④.其中对于定义域内的任意一个都存在唯一个成立的函数是          ．（写出所有满足条件的函数的序号）

10. 难度：中等

椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则___．

11. 难度：中等

函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为      ．

12. 难度：中等

已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则=          ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，满足条件的点构成的平面区域的面积为（分别表示不大于的最大整数），则=      _.

14. 难度：中等

把正整数排列成如图-1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图-2的三角形数阵. 现将图-2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则          ．

第14题图-1	第14题图-2

二、解答题

15. 难度：中等

(本小题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.

(1) 若sin＝2cos A，求A的值；

(2) 若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．

16. 难度：中等

(本小题满分14分)如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求证：HG∥平面ABC；

(2) 请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明．

17. 难度：中等

(本小题满分14分)如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂.

(1) 若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；

(2) 求的最小值．

18. 难度：中等

(本小题满分16分)已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.

（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；

（2）若，直线的斜率为，求证：；

（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.

19. 难度：中等

(本小题满分16分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，其值域为.

(1) 试求a、b的值；

(2) 函数y＝g(x)(x∈R)满足：

条件1： 当x∈[0,3)时，g(x)＝f(x)；条件2: g(x＋3)＝g(x)lnm(m≠1)．

① 求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式；

② 若函数g(x)在x∈[0，＋∞)上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由．

20. 难度：中等

（本题满分16分）

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.

（1）设数列满足（），（不同时为0），求证：数列是周期为的周期数列，并求数列的前2012项的和；

（2）设数列的前项和为，且.

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

（3）设数列满足（），，，数列的前项和为，试问是否存在实数，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

21. 难度：中等

（本题满分10分）

已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（-2,4）。

（1）求矩阵M及其矩阵M的另一个特征值；

（2）求直线在矩阵M的作用下的直线的方程。

22. 难度：中等

（本题满分10分）曲线的参数方程为（其中为参数），M是曲线上的动点，且M是线段OP的中点，P点的轨迹为曲线，直线l的方程为，直线l与曲线交于A，B两点。

（1）求曲线的普通方程；

（2）求线段AB的长。

23. 难度：中等

（本题满分10分）抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币，它们正面向上的概率如下表所示；

纪念币	A	B	C
概率		a	a

将这三枚纪念币同时抛掷一次，设表示出现正面向上的纪念币的个数。

（1）求的分布列及数学期望；

（2）在概率中，若的值最大，求a的最大值。

24. 难度：中等

（本题满分10分）已知。

（1）若，求的展开式中的系数；

（2）证明：。