2011-2012学年河南省高三第三次大考理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-i，则等于

A.2i                B.-2i           C.2             D.-2

2. 难度：中等

已知集合≤0}，≤0}，则下列关系中正确的是

A.M=N           B. N           C.N            D.M∩N=

3. 难度：中等

2011年河南省中小学教师全员进行了远程研修，为了调查中小学教师的年龄结构，随机抽取调查了100名教师的年龄，得到如图所示的频率分布直方图。则年龄在［40，45）岁的教师的人数为

A.5             B.10          C.20                D.30

4. 难度：中等

已知为锐角，，则

A.-3                B.3             C.          D.

5. 难度：中等

“”是“对任意的正数x，都有≥1”的

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

.由曲线围成的封闭图形的面积为

A.           B.            C.            D.

7. 难度：中等

在等差数列中，前n项和为，且，则的值为

A.2012          B.1006          C.-1006         D.-2012

8. 难度：中等

.随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）后获得身高数据的茎叶图如图甲所示，在这20人中，记身高在［150，160），［160，170），［170，180），［180，190］内的人数依次为，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，则下列说法正确的是

A.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S的值为18

B.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S的值为16

C.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S的值为18

D.由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S的值为16

9. 难度：中等

已知函数f(x)=asinx+bcosx(a、b为常数，a≠0,x∈R)在处取得最小值，则函数是

A.偶函数且它的图象关于点对称   B.偶函数且它的图象关于点对称

C.奇函数且它的图象关于点对称 D.奇函数且它的图象关于点对称

10. 难度：中等

设变量x,y满足约束条件且目标函数z=ax+y仅在点（2，1）处取得最小值，则实数a的取值范围是

A.(4,5)         B.(-2,1)            C.(-1,1)            D.(-1,2)

11. 难度：中等

已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为

A.(-∞,0］      B.［0,1)            C.(-∞,1)           D.［0,+∞)

12. 难度：中等

已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x+x²，若存在正数a,b，使得当x∈［a,b］时，f(x)的值域为［］，则a+b=

A.1                 B.       C.       D.

二、填空题

13. 难度：中等

在的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P=      

14. 难度：中等

已知两单位向量的夹角为60°，则向量的夹角为

15. 难度：中等

在送医下乡活动中，某医院安排2名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名，且男医生不安排在同一乡医院工作，则不同的安排方法总数为     。（用数字作答）

16. 难度：中等

给出下列等式：；            ；

，……

由以上等式推出一个一般结论：

对于=               

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分10分）已知关于x的不等式.

（I）若，求不等式的解集；

（II）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围。

18. 难度：中等

（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c，，∠BAC=，a=4.

（I）求bc的最大值及的取值范围；

（II）求函数的最值

19. 难度：中等

（本小题满分12分）从2003年开始，我国就通过实施高校自主招生探索人才选拔制度改革，允许部分高校拿出一定比例的招生名额，选拔那些有特殊才能的学生。某学生参加一个高校的自主招生考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个题目，该学生答对A、B两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试。面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一题即可被录取。（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相对独立的）

（I）求该学生被学校录取的概率；

（II）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

20. 难度：中等

（本小题满分12分）已知数列的前n项和为等差数列，又成等比数列.

（I）求数列、的通项公式；

（II）求数列的前n项和.

21. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数，若存在恒成立，则称的一个“下界函数”.

（I）如果函数的一个“下界函数”，求实数t的取值范围（II）设函数，试问函数F(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数

（I）若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

（II）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

（Ⅲ）求证：【解析】
（1），其定义域为，则令，

则，

当时，；当时，

在（0，1）上单调递增，在上单调递减，

即当时，函数取得极大值.                                       （3分）

函数在区间上存在极值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，则，

，即在上单调递增，                          （7分）

，从而，故在上单调递增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，当时，恒成立，即，

令，则，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。