2011-2012学年湖北省高三十一月份阶段性考试理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M＝{x|x²＜4}，N＝{x|x²－2x－3＜0}，则集合M∩N等于(　　)

A．{x|x＜－2}                           B．{x|x＞3}

C．{x|－1＜x＜2}                         D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

已知a、那么“”是“”的   （）

    A．充要条件                         B．充分不必要条件

    C．必要不充分条件               D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（  ）

A．    B．   C．   D．

4. 难度：中等

已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则＋等于  (　　)

A．4                B．3              C．2               D．1

5. 难度：中等

已知，则的夹角为（    ）

A.              B.           C.或         D.

6. 难度：中等

若是三角形的最小内角，则函数的最大值是（  ）

A．　          B．　         C．      D．

7. 难度：中等

已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时， 的值为   （）

    A．-2   B．-1       C．1    D．2

8. 难度：中等

已知向量，满足||=3||≠0，且关于x的函数f(x)= x³+||x²+·x在R上单调递增，则，的夹角的取值范围是（    ）

  A．[0, )  B． [0, ]   C．(，]   D．(，]

9. 难度：中等

定义：在数列{a_n}中，若满足－＝d(n∈N^*，d为常数)，我们称{a_n}为“比等差数列”．已知在“比等差数列”{a_n}中，a₁＝a₂＝1，a₃＝2，则的个位数字是(　　)

A．3      B．4       C．6  D．8

10. 难度：中等

某公司租地建仓库，每月土地占用费y₁与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y₂与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y₁和y₂分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

    A、5km处        B、4km处    C、3km处        D、2km处

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(＋1)，那么△ABC的面积为________

12. 难度：中等

读下面的流程图，若输入的值为－5时，输出的结果是________.

13. 难度：中等

已知函数f(x)=-x³+ax²+bx(a，b R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________

14. 难度：中等

设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是      

15. 难度：中等

已知等差数列中，若则有，则在等比数列中，若会有类似的结论： ______

三、解答题

16. 难度：中等

（本题满分12分）设函数,其中。

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。

17. 难度：中等

（本题满分12分12分）设a，b∈R⁺，a+b=1．

（1）证明：ab+≥4+=4；

（2）探索、猜想，将结果填在括号内；

a²b²+≥（　_________　）；a³b³+≥（　_________　）；

（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．

18. 难度：中等

（本题满分12分）

在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin  A.

(1)求AB的值；

(2)求sin的值．

19. 难度：中等

（本题满分12分）

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{b_n}满足b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9项和为153.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

20. 难度：中等

（本题满分13分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；

(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

21. 难度：中等

（本题满分14分）

已知函数且存在使

（I）证明：是R上的单调增函数；

（II）设其中　

     证明：

（III）证明：