2011-2012学年湖南省、岳阳县一中高三11月联考理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

下列四个集合中是空集的是（           ）

 A．                    B．

 C．                   D．

2. 难度：中等

函数的一个单调递减区间是（    ）

A．         B．          C．        D．

3. 难度：中等

定积分的值是（       ）

  A．-1            B．1          C．           D．

4. 难度：中等

等差数列满足为常数，则其前（     ）项的和也是常数。

  A．8            B．9          C．10         D．11

5. 难度：中等

设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（    ）

A．                  B．

C．                         D． 

6. 难度：中等

已知函数为奇函数，则=（       ）

  A．2012          B．2011           C．4020            D．4022

7. 难度：中等

已知函数f(x)＝()^x－log₃x，正实数a,b,c是公差为正实数的等差数列，且满足f(a)·f(b)·f(c)>0；已知命题P：实数d是函数y=f(x)的一个零点；则下列四个命题：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中是命题P的必要不充分条件的命题个数为（      ）

A．1               B．2               C． 3             D．4

8. 难度：中等

已知关于x的方程kx=sinx（k为正常数）在区间内有且仅有5个实数根，从小到大依次为，则与的大小关系为（        ）

A．     B．   C．   D．以上都有可能

二、填空题

9. 难度：中等

命题“”的否定是　  　     ．

10. 难度：中等

在，=            

11. 难度：中等

给出下列命题：

 （1）存在实数，使；

 （2）函数是偶函数；

 （3）是函数的一条对称轴；

 （4）若是第一象限的角，且，则；

 （5）将函数的图像先向左平移，然后将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的图像对应的解析式为.

其中真命题的序号是              

12. 难度：中等

已知函数是R上的偶函数，且恒成立，则 

13. 难度：中等

已知下面的数列和递推关系：

（1）数列；

（2）；

（3）；

试猜想：数列的类似的递推关系                   

14. 难度：中等

=      

15. 难度：中等

设无穷等差数列的前n项和为.

（1）若首项，公差，满足的正整数k=            ；

（2）对于一切正整数k都有成立的所有的无穷等差数列是           .

三、解答题

16. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知向量,，k，t为实数.

（Ⅰ）当k=－2时，求使成立的实数t值；

（Ⅱ）若，求k的取值范围.

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且(b²＋c²－a²)tanA＝bc.

（1）求角A的大小；

（2）求sin(A＋10°)·［1－tan(A－10°)］的值.

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

定义在非零实数集上的函数满足关系式且在区间上是增函数

（1）   判断函数的奇偶性并证明你的结论；

（2）   解不等式

19. 难度：中等

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba（其中a、b为常数），且a₁＝1万件，a₂＝1.5万件，a₃＝1.875万件.

（1）求a,b的值，并写出a_n＋1与a_n满足的关系式；

（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n＋1＜2.

（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式.

20. 难度：中等

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

21. 难度：中等

（本小题满分13分）

设数列满足>0，,其前n 项和为，且

（1）   求与之间的关系，并求数列的通项公式；

（2）   令

求证：