2011-2012学年湖南省长、望、浏、宁高三3月一模联考理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的实部与虚部的和是（    ）

    A．0                B．-1               C．1                D．2

2. 难度：中等

设，则“”是“”的（    ）

    A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件

    C．充分必要条件                         D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，

则图中正视图所标a=（    ）

    A．1   B．   C．   D．

4. 难度：中等

．已知，则等于（    ）

    A．            B．               C．             D．

5. 难度：中等

以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（    ）

    A． B．

    C．                      D．

6. 难度：中等

某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分这间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（    ）

    A．200              B．300              C．400              D．600

7. 难度：中等

已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（    ）

    A．25               B．24               C．-25              D．-24

8. 难度：中等

设集合，在S上定义运算，其中k为i+j被4除的余数，，则使关系式成立的有序数对（i，j）的组数为（    ）

    A．4                B．3                C．2                D．1

二、填空题

9. 难度：中等

已知直线的参数方程：（t为参数）与圆C的极坐标方程：，则直线与C的公共点个数是

10. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，AE：BE=1：2，若的面积等于1cm³，则的面积等于            cm²。

11. 难度：中等

在调试某设备的线路中，要选下列备用电阻之一，备用电阻由小到大已排好为0.5kΩ，1.3kΩ，2kΩ，3kΩ，5kΩ，5.5kΩ，若用分数法，则第二次试点是      。

12. 难度：中等

在等比数列中，首项，则公比为       。

13. 难度：中等

．阅读右面的程序框图，如果输出的函数值在区间内，

那么输入实数x的取值范围是      。

14. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，

则a的取值范围是        。

15. 难度：中等

若曲线在点处的切线的方程为，则曲

线在点处切线的斜率为     ，该切线方程为          。

16. 难度：中等

数列的前n项和为，且数列的各项按如下规则排列：

   

    则=        ，若存在正整数k，使，则k=           。

三、解答题

17. 难度：中等

．（本题满分12分）

设函数

（1）求函数的最小正周期及其在区间上的值域；

（2）记的内角A、B、C的对边分别为，若且，求角B的值。

18. 难度：中等

（本题满分12分）

在某次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”。某考生每道题给出一个答案，并已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜，试求出该考生；

（1）选择题得60分的概率；

（2）选择题所得分数的数学期望。

19. 难度：中等

（本题满分12分）      

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点。

（1）求证：；

（2）求二面角D—CB₁—B的平面角的正切值。

20. 难度：中等

（本题满分13分）

    如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两上城镇A、B，它们与MN的距离分别是，A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元。设计部门提交了以下三种修路方案：

    方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；

    方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并在K点修一个公共立交出入口；

    方案③：从A修一条普通公路到B，现从B修一条普通公路到高速公路，也只修一个立交出入口。

    请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案。

21. 难度：中等

（本题满分13分）

如图，设抛物线的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动。

（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；

（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值。

22. 难度：中等

（本题满分13分）

已知数列满足，数列满足，数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）试比较的大小，并说明理由；

（3）我们知道数列如果是等差数列，则公差是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由。