2011-2012学年福建省晋江市四校高三第二次联合考试理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，，若，则（　　）

A．       B．       C．       D．

2. 难度：简单

命题，函数，则（    ）

A．是假命题；，

B．是假命题；，

C．是真命题；，

D．是真命题；，

3. 难度：简单

下列“若，则”形式的命题中，是的充分而不必要条件的有（　　）

① 若或，则；

② 若关于的不等式的解集为R，则；

③ 若是有理数，则是无理数

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

4. 难度：简单

双曲线的实轴长是（　　）

A．2　　　　　 B．　　　　　 C．4　　　　　 D．

5. 难度：简单

定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（　　）

A．       B．        C．或         D．

6. 难度：简单

已知数列满足，且，且，则数列的通项公式为（　　）

A．      B．  　　C．     D．

7. 难度：中等

设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

 A．          　　 B．         　 C．　　　　 D．

8. 难度：中等

圆心在曲线 上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（　　）

A．　　　　　　　B．

C．    　　　 D．

9. 难度：困难

满足，它的前项和为，则满足的最小值是（　　）

A．9            B．10       　　C．11          　　D．12

10. 难度：困难

已知椭圆C₁：与双曲线C₂：有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A、B两点．若C₁恰好将线段三等分，则（　　）

A． 　　　B．　　　　C． 　　　　 D．

二、填空题

11. 难度：困难

计算______

12. 难度：困难

若变量满足约束条件，则的最小值为____

13. 难度：简单

四棱锥的顶点在底面上的投影恰好是，其正视图与侧视图都是腰长为的等腰直角三角形。则在四棱锥的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有______对．

14. 难度：简单

已知直线与圆相交于A，B两点，且，则________

15. 难度：中等

设，其中. 若对一切恒成立，则

① ；

② ；

③ 既不是奇函数也不是偶函数；

④ 的单调递增区间是；

⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．

以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度；

（2）求的值．

17. 难度：困难

设，其中为正实数.

（1）当时，求的极值点；

（2）若为上的单调函数，求的取值范围.

18. 难度：简单

如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，，点E是SD上的点，且.

（1）求证：对任意的，都有AC⊥BE；

（2）若二面角C-AE-D的大小为，求的值

19. 难度：简单

已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？

若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

20. 难度：中等

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．

（1）令，，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

21. 难度：困难

已知数列满足，数列满足，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）试比较与的大小，并说明理由；

（3）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢? 若会，求出的取值范围；若不会，请说明理由．