2011-2012学年福建省福州市高三第五次质量检测理科数学

一、解答题

1. 难度：中等

（本小题满分13分）

已知的三个内角、、所对的边分别为、、,且，

.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的最大值.

2. 难度：中等

（本小题满分13分）

张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L₁，L₂两条路线（如图），L₁路线上有A₁，A₂，A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L₂路线上有B₁，B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．

（Ⅰ）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若走L₂路线，求遇到红灯次数的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生分析上述两条路线中，选择哪条上班路线更好些，并说明理由．

3. 难度：中等

（本小题满分13分）

在数列中，其前项和与满足关系式： ．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）设数列的公比为，已知数列，

，求的值．

4. 难度：中等

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆:的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.

（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；

（ⅱ）求△面积的取值范围.

5. 难度：中等

（本小题满分14分）

设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R，都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．

（Ⅰ）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．

（Ⅱ）观察下图：

根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

6. 难度：中等

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

若点在矩阵     对应变换的作用下得到的点为，求矩阵的逆矩阵．

7. 难度：中等

（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求||的最小值．

8. 难度：中等

（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知实数满足且的最大值是7，求的值．

二、选择题

9. 难度：中等

已知全集，集合，则集合=

     A．[-1，4]       B．

     C．         D．

10. 难度：中等

右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是

     A．            B.  

     C.             D.

11. 难度：中等

若函数，则等于

    A. 2              B.             C.              D.  

12. 难度：中等

在递减等差数列中，若，则取最大值时等于

     A．2             B．3   　　　      C．2或3           D．3或4

13. 难度：中等

下列结论正确的是

①“”是“对任意的正数，均有”的充分非必要条件

②随机变量服从正态分布N（2,2²），则D（）=2

③线性回归直线至少经过样本点中的一个

④的否定是

     A．④            B. ①④            C. ①②④          D. ①②③④

14. 难度：中等

某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有

     A．144种         B．150种           C．196种           D．256种

15. 难度：中等

要得到函数的图像，只需将函数的图像

A. 向左平移个单位                     B. 向右平移个单位 

C. 向左平移个单位                     D. 向右平移个单位

16. 难度：中等

已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为

     A．            B．             C．             D． 

17. 难度：中等

利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a和b，在定义域｛x∈R|x≠0｝上存在零点的概率是

  A.                B.              C.              D.  

18. 难度：中等

．椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=，且∈[,]，则该椭圆离心率的取值范围为

     A．[,1 )                        B．[,]

     C．[，1)                        D．[,]

三、填空题

19. 难度：中等

已知复数z满足，则=        ．

20. 难度：中等

设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点，则目标函数的最大值为          ．

21. 难度：中等

设，则二项式展开式中含项的系数是     .

22. 难度：中等

已知、、、、这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的标准差是          .

23. 难度：中等

已知单位向量的夹角为，若，如图，则叫做向量的坐标，记作，有以下命题：

①已知，则；

②若，则

；

③若，则；

④若，，且三点共线，则。

上述命题中正确的有　　　　　　　　．（将你认为正确的都写上）