2011-2012学年福建省福州市高三第一学期期末质量检测理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A=，B=，那么集合(   A) n B等于

    A．   B．  C．  D．

2. 难度：中等

．复数(i为虚数单位)等于

A．     B．    C．    D．

3. 难度：中等

“cosα =”是“cosα2α= -”的

A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

．执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出m的值是

A．0       B．0.1       C．1          D．-1

5. 难度：中等

将函数f (x)=sin2 x (x∈R)的图象向右平移个单位，则所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是

A．(-，0)    B．(0，)    C．(，)    D．(，π)

6. 难度：中等

已知=1，=2，与的夹角为120°，++=0，则与的夹角为

A．150°       B．90°       C．60°         D．30°

7. 难度：中等

已知g(x)为三次函数 f (x)=x³ +ax²+cx的导函数，则它们的图象可能是

8. 难度：中等

   在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一

次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为

A．           B．           C．            D．

9. 难度：中等

直线y=一x与椭圆C： =1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为．

A．       B．         C．         D．4-2

10. 难度：中等

设Q为有理数集，函数f (x) = g(x)=，则函数h(x)= f (x)·g(x)

A．是奇函数但不是偶函数         B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数也是偶函数         D．既不是偶函数也不是奇函数

二、填空题

11. 难度：中等

计算的值等于            ．

12. 难度：中等

在(1+)²一(1+)⁴的展开式中，x的系数等于           ．(用数字作答)

13. 难度：中等

在圆x²+y²=4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则| x |+| y | ≤ 2的概率为        ．

14. 难度：中等

“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：                     ．

15. 难度：中等

．如图的倒三角形数阵满足：(1)第1行的，n个数，分别是1，3，5，…， 2n-1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；(3)数阵共有n行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是                ．

三、解答题

16. 难度：中等

(本小题满分l 3分)在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+l=a_n+cn (n∈N*，常数c≠0)，且a₁，a₂，a₃成等比数列．

(I)求c的值；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式．

17. 难度：中等

．(本小题满分13分)某学院为了调查本校学生201 1年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，(5，1 O]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

 (I)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；

(Ⅱ)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E(Y)．

18. 难度：中等

(本小题满分1 3分)如图，在△ABC中，已知B=，AC=4，D为BC边上一点．

(I)若AD=2，S_△ABC=2，求DC的长；

(Ⅱ)若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．

19. 难度：中等

．(本小题满分l 3分)某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

(I)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?

(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入 (x²—600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价．

20. 难度：中等

(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．

( I)求点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=e^x．

( I)若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；

(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x₀，f (x₀))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g(x)相切．