2011-2012学年陕西省五校高三第二次模拟测试理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，，则(   )

（A）         （B）

（C）           （D）

2. 难度：中等

已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的(   )

（A）充分而不必要条件      （B）必要而不充分条件

（C）充要条件              （D）既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A）         （B）       （C）         （D）

4. 难度：中等

阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是(   )

（A）（B）（C）（D）

5. 难度：中等

已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（   ）

（A）              （B）             （C）          （D）

6. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（    ）

（A）命题“若，则”的否命题为：“若，则”．

（B）“”是“”的必要不充分条件．

（C）命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”．

（D）命题“若，则”的逆否命题为真命题．

7. 难度：中等

若函数满足,且当时,,则函数与函数的图像的交点个数为（   ）

（A）个       （B）个       （C）个      （D）个

8. 难度：中等

设函数的最小正周期为，且，则（    ）

（A）在单调递减     （B）在单调递减

（C）在单调递增     （D）在单调递增

9. 难度：中等

设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（    ）

（A）         （B）         （C）1           （D）4

10. 难度：中等

已知，实数、、满足,

且，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的（   ）

（A）    （B）    （C）    （D）

二、填空题

11. 难度：中等

展开式的常数项是       （结果用数值作答）

12. 难度：中等

同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第个图案中需用黑色瓷砖___________块．

]

13. 难度：中等

已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 

14. 难度：中等

给出下列三个命题：①若直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于两点，则的最小值为；②双曲线的离心率为；③若,则这两圆恰有条公切线.④若直线与直线互相垂直，则．

其中正确命题的序号是           .(把你认为正确命题的序号都填上)

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

．（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于     

16. 难度：中等

（不等式选讲选做题）若存在实数满足,则实数的取值范围为_________．

17. 难度：中等

(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数有_个

三、解答题

18. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数

的图象的一部分如下图所示. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.

19. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）设函数的图像的顶点的纵坐标构成数列，求证：为等差数列；

（Ⅱ）设函数的图像的顶点到轴的距离构成数列，求的前项和．

20. 难度：中等

（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（Ⅰ）证明： ⊥平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；

21. 难度：中等

（本小题满分12分）某班同学利用寒假进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；

（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.

22. 难度：中等

（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

23. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.