2011-2012学年黑龙江省高三上学期期末考试理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

设全集,集合则为(   )

A、 B、  C、   D、

2. 难度：简单

“”是“”的  (       )

A、充分不必要条件   B、必要不充分条件  

C、充要条件   D、既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于(  )

   A、          B、           C、       D、 

4. 难度：简单

设、、是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：

①若a∥，b∥，则a∥b；  ②若a∥，b∥，a∥b，则∥；  

③若a⊥，b⊥，a⊥b，则⊥；④若a、b在平面内的射影互相垂直，则a⊥b.

其中正确命题是(    ）

A、④                B、 ③             C、 ①③          D、②④

5. 难度：简单

已知函数，（）．那么下面命题中真命题的序号是(    )

   ①的最大值为             ②的最小值为  

③在上是减函数           ④ 在上是减函数

A、①③              B、①④          C、②③   D、②④

6. 难度：简单

一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①  长方形；②正方形；③圆；④椭圆。其中正确的是（   ）

  A、①②        B、②③      

C、③④        D、①④

7. 难度：中等

已知函数，若实数是方程 的解，且，则（     ）

A、恒为负数          B、等于0               C、恒为正值        D、不大于0

8. 难度：中等

函数的图象为C，给出以下结论：

①图象关于直线对称；     ②图象关于点对称；

③函数在区间内是增函数；  

④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．其中正确的是（     ）

A、①②④          B、 ①③④         C、 ①②③           D、 ②③④

9. 难度：困难

已知等差数列的前n项和为，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S₂₀等于                 （     ）        

A、10   B、15   C、20   D、40

10. 难度：困难

如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP的长为，弦AP的长为d，则函数d=f()的图像大致为（  ）

11. 难度：简单

已知集合

若存在，使得，则的最大值是          (     )

   A、               B、                C、                D、

12. 难度：简单

已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则（   ）

    A、      B、               C、  D、

二、填空题

13. 难度：简单

已知是偶函数，且      

14. 难度：中等

已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的离心率为____

15. 难度：中等

设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，当且时，此抛物线的方程为 _______

16. 难度：困难

已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为            

三、解答题

17. 难度：简单

已知向量.

（1）当时，求的值；

（2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围。

18. 难度：简单

为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标．

（Ⅰ）用样本估计总体，某班有学生45人,设为达标人数,求的数学期望与方差；

性别 是否 达标	男	女	合计
达标		_____	_____
不达标	___		_____
合计	______	______

（Ⅱ）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如右表：

根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？

附：   ，

19. 难度：中等

如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

21. 难度：困难

设函数，，

（1）若是的极值点，求的值；

（2）在（1）的条件下，若存在，使得，求的最小值；

（3）若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围。

22. 难度：困难

选修4-1：几何证明选讲

如图所示，设的外接圆的切线与的延长线交于点，边上有一点，满足组成等比数列。求证：平分。

23. 难度：困难

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点．

（1）求的值；

（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．

24. 难度：困难

选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）若与2的大小，并说明理由；

（Ⅱ）设是和1中最大的一个，当