2013届四川省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知向量＝（1，1，0），＝（－1， 0，2），且＋与2－互相垂直，则的值是（    ）

A．1       B．       C．         D．

2. 难度：简单

函数f(x)=(x-3)e^x的单调递增区间是（     ）

A.（-∞，2）     B.（0,3）  

C.（1,4）        D.（2，+∞）

3. 难度：简单

若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为（     ）

   A．      B．1      C．       D．

4. 难度：简单

如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（      ）

A．2          B．        C．          D．0

5. 难度：简单

是虚数单位，已知复数，则复数Z对应点落在（      ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限

6. 难度：简单

已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是     （     ）

A．    B．

C．     D．

7. 难度：简单

给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记=，若＜0在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是（      ）

A. =         B. =

C. =        D. =

8. 难度：简单

给出的下列不等式中，不成立的是（      ）

A．          B.  

C.                D.   

9. 难度：简单

2008年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 (     )

A. 48种         B. 36种          C. 18种         D. 12种

10. 难度：简单

曲线上的点到直线的最短距离是 （      ）

A．         B．          C．          D．0

11. 难度：简单

若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围是（     ）

A．           B．

    C．                         D．不存在这样的实数k

12. 难度：简单

已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示．下列命题中，真命题的个数为 （     ）．

第12题图            

① 函数是周期函数；② 函数在是减函数；③ 如果当时，的最大值是，那么的最大值为；④ 当时，函数有个零点，其中真命题的个数是 （     ）

   A．个        B． 个         C． 个         D． 个

二、填空题

13. 难度：简单

函数,的最大值为          

14. 难度：简单

如图，是直三棱柱，，点、分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值为            

15. 难度：简单

设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为           

16. 难度：简单

给出下列命题：

①某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有60种；

②对于任意实数x，有 则

③已知点在平面内，并且对空间任一点， ，则的值为1；      

④在正三棱柱中，若，，则点到平面的距离为，其中正确命题的序号是          

三、解答题

17. 难度：简单

已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，

  O是底面ABCD对角线的交点.

（1）求证：A₁C⊥平面AB₁D₁；

（2）求.

【解析】（1）证明线面垂直，需要证明直线垂直这个平面内的两条相交直线，本题只需证：即可.

（2）可以利用向量法，也可以根据平面A₁ACC₁与平面AB₁D₁垂直，可知取B₁D₁的中点E，则就是直线AC与平面AB₁D₁所成的角.然后解三角形即可.

18. 难度：简单

已知函数,曲线在点处的切线为，若时，有极值.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值.

【解析】（1）根据可建立关于a,b,c的三个方程，解方程组即可.

（2）在（1）的基础上，利用导数列表求极值，最值即可.

19. 难度：简单

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点.

（1）求证：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】(1)证：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根据二面角P-BF-C的余弦值为,确定高PD的值，即可求出四棱锥的体积.也可利用传统方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角时，要考虑运用三垂线或逆定理.

20. 难度：简单

已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）根据建立关于a的方程求a即可.

（2）本题要分别求出f(x)在[1,e]上的最小值，g(x)在[1，e]上的最大值，然后

,解关于a的不等式即可.