2013届安徽省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

命题“若x²+y²=0，则x,y全为0”的否命题是（   ）

A.若x²+y²≠0,则x,y全不为0.         B.若x²+y²≠0，则x,y不全为0.

C.若x²+y²≠0,则x,y至少有一个为0.       D.若x,y不全为0，则x²+y²≠0.

2. 难度：简单

下列有关命题的说法正确的是（   ）

A．若为真命题，则均为真命题

B．命题 “，”的否定是“,  ”

C． “”是“方程表示椭圆”的充要条件

D．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件

3. 难度：简单

已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（   ）

A． －1   　　   B．  1     　   C．  －2    　　  D．   2

4. 难度：简单

给出下列命题：

①直线的方向向量为，直线的方向向量为则

②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.

③平面的法向量分别为，则.

④平面经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是（   ）

A．②③              B．①④            C．③④           D．①②

5. 难度：简单

设命题p：R，， 则命题p为真命题的充分非必要条件的是（   ）

   A．            B．            C．           D．

6. 难度：简单

已知，点在所在的平面内运动且保持，则的最大值和最小值分别是(    )

A．和     　   B．10和2　　    　 C．5和1     D．6和4

7. 难度：简单

若点在平面内，且满足(点为空间任意一点),则抛物线的准线方程是（   ）

A.             B.            C.           D.

8. 难度：简单

已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 (   )

A．[1,2]    B．(1,2)       C．[2，＋∞)      D．(2，＋∞)

9. 难度：简单

如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为(　　)

A.米      B．米     C.米      D.米 

10. 难度：简单

已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（   ）

A．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

二、填空题

11. 难度：简单

已知,(两两互相垂直)，那么=   ，

12. 难度：简单

设椭圆C₁的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C₂上的点到椭圆C₁的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C₂的标准方程为      _____________。

13. 难度：简单

直线l：与椭圆相交A，B两点，点C是椭圆上的动点，则面积的最大值为               。

14. 难度：简单

过点且被点平分的双曲线的弦所在直线方程为       _.

15. 难度：简单

为过抛物线焦点的一条弦，设，以下结论正确的是____________________,

①且   ②的最小值为    ③以为直径的圆与轴相切；   

三、解答题

16. 难度：简单

设命题：方程表示的图象是双曲线；命题：，．求使“且”为真命题时，实数的取值范围．

【解析】本试题考查了双曲线的方程的运用，以及不等式有解时，参数的取值范围问题，以及符合命题的真值的判定综合试题。

17. 难度：简单

三棱柱中，分别是、上的点，且，。设，，.

（Ⅰ）试用表示向量；

（Ⅱ）若，，，求MN的长.。

【解析】本试题主要考查运用向量的基本定理表示向量，并且运用向量能求解长度问题。

18. 难度：简单

已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其焦点的坐标； （Ⅱ）求双曲线的方程及其离心率．

【解析】本试题主要考查了抛物线方程的求解，以及双曲线与抛物线的交点问题，和双曲线的几何性质的综合求解和运用。

19. 难度：简单

已知平面四边形的对角线交于点，，且，，．现沿对角线将三角形翻折，使得平面平面．翻折后： （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）记分别为的中点．①求二面角大小的余弦值； ②求点到平面的距离

【解析】本试题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的综合运用。以及线线垂直和二面角的求解的立体几何试题运用。

20. 难度：简单

已知椭圆＋＝1（a>b>0)上的点M (1, )到它的两焦点F₁，F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点。

(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率；

(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。

【解析】本试题主要是考查椭圆的方程和椭圆的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。联立方程组，结合韦达定理求解和运算。

21. 难度：简单

已知抛物线直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于、两点（点A在第一象限）   

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）过点的抛物线的切线与直线交于点，求证：。

【解析】本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系，利用联立方程组，结合韦达定理求解弦长和直线的方程，以及证明垂直问题。