2014届江苏省高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，则集合的元素中有                   个整数。

2. 难度：中等

已知向量则              。

3. 难度：中等

已知向量，则              。

4. 难度：中等

的值是              。

5. 难度：中等

已知函数，则              。

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若角的终边落在射线上，则          。

7. 难度：中等

函数的定义域为               。

8. 难度：中等

函数是幂函数，则实数的值为               。

9. 难度：中等

函数的值域是               。

10. 难度：中等

若，则               。

11. 难度：中等

已知函数，且，则实数的取值范围为           。

12. 难度：中等

函数的单调递增区间为                。

13. 难度：中等

如图，在中，，，是边的中点，则

____________。

14. 难度：中等

给出下列命题：

（1）函数有无数个零点；

（2）若关于的方程有解，则实数的取值范围是；

（3）把函数的图象沿轴方向向左平移个单位后，得到的函数解析式可以表示成；

（4）函数的值域是；

（5）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数都有成立，则的最小值为。

其中正确的命题有                个。

二、解答题

15. 难度：中等

（本题满分14分）已知函数。

（Ⅰ）求函数最小正周期；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）写出函数的单调递减区间。

16. 难度：中等

（本题满分14分）已知向量。

（Ⅰ）若向量的夹角为，求的值；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）若，求的夹角。

17. 难度：中等

（本题满分14分）已知向量。

（Ⅰ）若，分别求和的值；

（Ⅱ）若，求的值。

18. 难度：中等

（本题满分16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，按每吨1.8元收费；当每户每月用水量超过4吨时，其中4吨按每吨为1.8元收费，超过4吨的部分按每吨3.00元收费。设每户每月用水量为吨，应交水费元。

（Ⅰ）求关于的函数关系；

（Ⅱ）某用户1月份用水量为5吨，则1月份应交水费多少元？

（Ⅲ）若甲、乙两用户1月用水量之比为，共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费。

19. 难度：中等

（本题满分16分）已知函数。

（Ⅰ）利用函数单调性的定义证明函数在上是单调增函数；

（Ⅱ）证明方程在区间上有实数解；

（Ⅲ）若是方程的一个实数解，且，求整数的值。

20. 难度：中等

（本题满分16分）已知函数。

（Ⅰ）当时，求函数的值域；

（Ⅱ）若函数的最小值为，求实数的值；

（Ⅲ）若，求函数的最大值。