2013届浙江省高二下学期第一次质检理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若,则等于(    )

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)

A．2　　　  B．－2　 　　C．1　　　　       D．－1

3. 难度：简单

如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)

A.     B.        C. －1        D.＋1

4. 难度：简单

以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（　　）

A．①、②     B．①、③   C．②、④      D．③、④

5. 难度：简单

设，则三数（     ）

A．至少有一个不大于2　　　  B．都小于2　 　　C．至少有一个不小2　　D．都大于2

6. 难度：简单

电灯可在点A与桌面的垂直线上移动(如图)，在桌面上另一点B离垂足O的距离为a，为使点B处有最大的照度(照度I与sin∠OBA成正比，与r²成反比，且比例系数均为正的常数)，则电灯A与点O的距离为(　　)

A. a       B. a        C. a        D. a

7. 难度：简单

设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为    (    )

A.        B.          C.          D.

8. 难度：简单

已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x²＋2xf′(2)，则f(－2)与f(2)的大小关系为(　　)

A．f(－2)＝f(2)     B．f(－2)>f(2)      C．f(－2)<f(2)         D．不确定

9. 难度：简单

若对可导函数f(x)，g(x)，当x∈[0,1]时恒有f′(x)·g(x)<f(x)·g′(x)，若已知α，β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F(x)＝ (g(x)≠0)，则下列不等式正确的是(　　)

A．F(cosα)>F(cosβ)  B．F(cosα)<F(cosβ)   C．F(sinα)<F(cosβ)   D．F(sinα)>F(sinβ)

10. 难度：简单

一条曲线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧， 为曲线的第1圈，然后又以为圆心，为半径画弧，这样画到第圈，则所得曲线的总长度为（     ）

A． B．  C．  D．

二、填空题

11. 难度：简单

已知函数＝ln(x＋)，则_________．

12. 难度：简单

如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有.若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是________________.

13. 难度：简单

若函数在处有极大值，则常数的值为_________．

14. 难度：简单

设函数，若为奇函数，则=_________．

15. 难度：简单

若函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，求实数a的取值范围_________．

16. 难度：简单

把函数f(x)＝x³－3x的图象C₁向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C₂，若对任意u＞0，曲线C₁与C₂至多只有一个交点，则v的最小值为_________．

17. 难度：简单

设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.

三、解答题

18. 难度：简单

已知抛物线和若有且仅有一条公切线，求出公切线的方程

19. 难度：简单

设正数数列的前项和为，且，

(Ⅰ)试求，，

(Ⅱ)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明

20. 难度：简单

设函数，且为的极值点．

(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；

(Ⅱ)若恰有1解，求实数的取值范围．

21. 难度：简单

已知函数

(Ⅰ)求的单调区间；

(Ⅱ)若,,求的取值范围.

22. 难度：简单

已知函数f(x)＝的图像在点（为自然常数）处的切线斜率为3.

(Ⅰ)求实数的值

(Ⅱ)若，且对任意的恒成立，求得最大值

(Ⅲ)当时，证明