2013届浙江省温州市高二第二学期期中考试理科数学（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数，是的共轭复数，则=

（A）i  　　　　　　 （B）－ i     　　　　　（C）1+ i      　　 （D）1－i

2. 难度：中等

下列几种推理过程是演绎推理的是

（A）指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数

（B）金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电

（C）由圆的性质推测球的性质

（D）科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

3. 难度：中等

若，则=

（A）　　　　　　（B）1　　　　　　　　（C）　　　　　（D）

4. 难度：中等

二项式展开式中的常数项是

（A）第7项          （B）第8项       　 （C）第9项        （D）第10项

5. 难度：中等

已知函数的导函数的图象如图，则

（A）函数有2个极大值点，3个极小值点

（B）函数有1个极大值点，1个极小值点

（C）函数有3个极大值点，1个极小值点

（D）函数有1个极大值点，3个极小值点

6. 难度：中等

对于下列四个命题：

①任何复数的模都是非负数．

②如果复数z₁＝i，z₂＝－i，z₃＝－i，z₄＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．

③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0.

④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．

其中正确的命题有

（A）0个　　　　　  （B）1个　　　　　　（C）2个　　　　     　（D）3个

7. 难度：中等

设a₁,a₂,…,a_n是1,2,…,n的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数(i=1,2,…,n)．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为                  

（A）192           （B）144            （C）96           　（D）48

8. 难度：中等

已知函数f(x)的定义域为(-2,2)导函数为f´(x)=2+cosx且f(0)=0，则满足f(1+x)+f(x-x²)>0的实数x的

取值范围为

（A）(－1,1)         （B）      （C）       （D）

9. 难度：中等

二项展开式（）对x取复数集中的任意一个复数都成立，如取，则可得到，这种方法称为赋值法，给x赋于恰当的复数，就能计算的值等于

（A）－2¹⁰⁰⁶               （B）2¹⁰⁰⁶　　　　　　　（C）－2²⁰¹⁰               （D）2²⁰¹⁰

10. 难度：中等

已知为R上的连续可导函数，当时，，则关于的函数的零点的个数为 

（A）1      　　　     　（B）2                  　（C）                 　（D）或

二、填空题

11. 难度：中等

观察数列，写出该数列的一个通项公式=　　▲　　.

12. 难度：中等

已知2i－3是关于x的实系数方程2x²+px+q=0的一个根，则p+q=　　▲　　.

13. 难度：中等

已知函数f(x)=x(x－c)²在x=2处有极大值，则实数c=　　▲　　.

14. 难度：中等

二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr²；三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr²，三维测度（体积）V＝πr³；四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr³，则猜想其四维测度　　▲　　 .

15. 难度：中等

若多项式(1+x)¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶,则(a₁+2a₂+3a₃+…+16a₁₆)×2^－16=     ▲     .

16. 难度：中等

已知函数的图像与直线有且仅有3个交点，交点横坐标的最大值为

则     ▲     .

三、解答题

17. 难度：中等

设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是     ▲     .

18. 难度：中等

函数,已知是奇函数。

（Ⅰ）求b,c的值；

（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。

19. 难度：中等

阅读下面材料：

    根据两角和与差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得

(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状．

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

20. 难度：中等

由下列不等式：，，，，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

21. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5这六个数字：

(Ⅰ)可组成多少个无重复数字的自然数？   

(Ⅱ)可组成多少个无重复数字的四位偶数？

(Ⅲ)组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少?

【解析】本试题主要是考查了排数问题的运用。能对于给定的数字的进行分情况讨论，分步进行求解各种情况下的情况。关键是理解，排数中的0的问题，以及和首位不能为零的情况。对于特殊位置优先考虑的方法来进行。

22. 难度：中等

已知函数，，k为非零实数.

（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;

（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。