2011-2012学年吉林省高三第六次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则（    ）

        A．         B．             C．          D．

2. 难度：简单

复数（其中，i为虚数单位）的虚部为（    ）

        A．         B．             C．             D． 

3. 难度：简单

若，且为第三象限角，则                (    ）

        A．         B．           C．            D．

4. 难度：简单

已知在等比数列中，，9，则  （    ）

        A．          B．5                C．             D．3

5. 难度：简单

若，，，则（    ）

        A．    B．       

        C．    D．

6. 难度：简单

一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（    ）

        A．            B．    

        C．           D．

7. 难度：简单

设非零向量a，b，c，满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则a与b的夹角为（    ）

        A．        B．           

        C．         D．

8. 难度：简单

将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1， 2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（    ）

        A．12种         B．16种            

        C．18种         D．36种

9. 难度：简单

已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（    ）

        A．1            B．              C．2                D．3

10. 难度：简单

如图所示，F₁和F₂分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则离心率为（    ）

        A．       B．          C．           D．

11. 难度：简单

设O为坐标原点，点M坐标为，若点N满足不等式组，当时，则的最大值的变化范围是（    ）

        A．                             B．            C．[5,7]      D．

12. 难度：简单

已知是定义在R上的函数，对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则（    ）

        A．5            B．4                C．3                D．2

二、填空题

13. 难度：简单

执行右边的程序框图，若，则输出的      ．

14. 难度：简单

设函数，若，0≤≤1，则的值为             ．

15. 难度：简单

已知函数在区间有零点，则实数a的取值范围为          ．

16. 难度：简单

已知定义在上的函数

．给出下列结论：

        ①函数的值域为；

        ②关于的方程有个不相等的实数根；

        ③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则；

        ④存在，使得不等式成立，

        其中你认为正确的所有结论的序号为______________________．

三、解答题

17. 难度：简单

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

        （Ⅰ）求角A；

        （Ⅱ）若m，n，试求|mn|的最小值．

【解析】（I）把切化成弦，然后根据正弦定理，把等号右边的边的比，转化为对应的角的正弦的比，再借助诱导公式求A.

（II）根据第（I）问求出的A角，然后把C角用B角来表示，再借助向量表示成关于角B的函数，然后根据三角函数的知识求最小值即可.

18. 难度：简单

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；

（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．

（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

（2）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和数学期望

19. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面，，  ，    ，是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值

20. 难度：简单

如图所示，在中，，，N在y轴上，且，点E在x轴上移动．

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，与点M的轨迹交于点A、B，与点M的轨迹交于点C、D，求的最小值．

21. 难度：简单

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，求在区间上的最大值；

（III）设函数，（），试讨论函数与图象交点的个数

22. 难度：简单

如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．

（Ⅰ）求证：HC·CK＝BC²；

（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH·AK的值．

23. 难度：简单

以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（α为参数）．

（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长

24. 难度：简单

已知函数

（Ⅰ）求不等式≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．