2013届江苏省高二下期中理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数(2-3i)i  (i是虚数单位)的虚部是    

2. 难度：中等

抛物线的焦点坐标是                  .

3. 难度：中等

用反证法证明命题“如果x<y，那么 >”时，假设的内容应该是          ．

4. 难度：中等

若关于的方程表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围为     

5. 难度：中等

函数在某一点处的导数值为0是函数在这点处取极值的____条件。

（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件）

6. 难度：中等

若点在椭圆外，过点作该椭圆的两条切线的切点分别为，则切点弦所在直线的方程为．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为“若点不在双曲线上，过点作该双曲线的两条切线的切点分别为，则切点弦所在直线的方程为       ”．

7. 难度：中等

某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有种    

8. 难度：中等

中，若B=30，AB=2，AC=2，则的面积为______________

9. 难度：中等

设满足约束条件,则的最大值为      

10. 难度：中等

《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份面包数之和的是较少两份面包数之和，问最少的1份面包数为              

11. 难度：中等

若椭圆的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e的取值范围是            .

12. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列满足：，若，则的最小值为_▲ __

13. 难度：中等

设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式的解集为         ．

14. 难度：中等

定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：，

当时，设函数的值域为A，记集合A中的元素个数为，则= 

二、解答题

15. 难度：中等

设实部为正数的复数满足，且在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.

（1）求复数Z；

（2）若为纯虚数 , 求的值.

16. 难度：中等

如图，直三棱柱中， ，. 分别为棱的中点.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在线段上是否存在一点，使得平？

若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

17. 难度：中等

某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于2米，且AC比AB长1米．为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？

18. 难度：中等

已知数列{}满足+=2n+1

（1）求出，，的值；                                      

（2）由（1）猜想出数列{}的通项公式；                       

（3）用数学归纳法证明（2）的结果.

19. 难度：中等

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率为,且经过点,过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。 

（1）求椭圆E的方程

（2）现将椭圆E上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，求所得曲线的焦点坐标和离心率

（3）是否存在直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程。若不存在，说明理由。

20. 难度：中等

已知函数。

（1）求函数在区间上最小值；

（2）对（1）中的，若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；

（3）若点A，B，C，从左到右依次是函数图象上三点，且这三点不共线，求证：是钝角三角形。