2013届河南省周口市四校高二下期中理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数为虚数单位是纯虚数，则实数的值为(     )

A.     B.            C.           D.

2. 难度：中等

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中                           

A．大前提错误    B．小前提错误 

C．推理形式错误   D．结论正确

3. 难度：中等

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)

A、－1＜a＜2          B。－3＜a＜6    

C、a＜－3或a＞6      D、a＜－1或a＞2

4. 难度：中等

若，则=(    )

A、1         B、0        C、0或1        D、以上都不对

5. 难度：中等

若，则的值为（  　  ）

A.         B．        C．         D．

6. 难度：中等

已知P(x，y)是函数y＝e ^x＋ x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为(　　)

A、           B、           C、             D、

7. 难度：中等

某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为(　　)                                                       

A． 360           B．520            C．600               D．720

8. 难度：中等

设P为双曲线上的一点，F₁、F₂是该双曲线的两个焦点，若，则△PF₁F₂的面积为（  ）

    A．        B．12           C．12            D．24

9. 难度：中等

如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是

DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成角的大小是(    )

A.60⁰            B.30⁰        C.45⁰         D.90⁰

10. 难度：中等

设实数满足   ，则的最大值（ ）

A．          B．2          C．3         D．

11. 难度：中等

在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设是非零实数，且满足，则＝ （     ）

A．4                B．           C．2              D．

12. 难度：中等

，则不等式的解集为(     )

    A．          B． 

C．        D．

二、填空题

13. 难度：中等

若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数 等于           

14. 难度：中等

已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为           

15. 难度：中等

若随机变量的分布列如下表， 则的最小值为            ．

16. 难度：中等

黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案；则第n个图案中有白色地面砖为            块.

 

三、解答题

17. 难度：中等

某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．

（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列                    

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

18. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱中，，，，，是棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

19. 难度：中等

设数列

   （1）求

   （2）求的表达式。

20. 难度：中等

已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.

 (1)设（为原点），求点的轨迹方程；

(2)若直线的倾斜角为，求的值.

21. 难度：中等

已知函数

（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（2）当时，求在上的最大值和最小值；

22. 难度：中等

已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数.

23. 难度：中等

已知曲线f (x ) = ax ² ＋2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行.

求由曲线y=f (x ) 与所围成的平面图形的面积.