2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x²,x∈R},则A∩B等于(   )

A.{x|x∈R}                              B.{y|y≥0}

C.{(0,0),(1,1)}                             D.

2. 难度：简单

已知，，若，那么与在同一坐标系内的图像可能是(   )

 

3. 难度：简单

函数f(x)=x²+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a的取值范围是(  )

A.［-3,+∞］                                B.(-∞,-5)

C.(-∞,5］                              D.［3,+∞)

4. 难度：简单

函数是定义域为R的奇函数，当时，则当时，的表达式为

A．              B．

C．               D．

5. 难度：简单

已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是(    )

A.0<m≤4        B.0≤m≤1         C.m≥4          D.0≤m≤4

6. 难度：简单

已知，则的值为（  ）

A.   B.   C.  D.

7. 难度：简单

函数的图像（   ）A关于x轴对称  B 关于y轴对称 C关于原点对称D 关于直线对称

8. 难度：简单

下列图像表示的函数能用二分法求零点的是(   )

 

9. 难度：简单

函数的定义域为

A．           B．

C．               D．

10. 难度：简单

已知函数满足，则的解析式是

A．             B．

C．                D．

11. 难度：简单

已知条件p：(x＋1)²>4，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．a≥1                                B．a≤1

C．a≥－3                              D．a≤－3

12. 难度：简单

如图，阴影部分的面积是(　　)

A．2                                B．2－

C.                                  D.

二、填空题

13. 难度：简单

用“”从小到大排列，，，_______

14. 难度：简单

的值为 _____________

15. 难度：简单

已知，则一个符合条件的函数表达式为______

16. 难度：简单

已知函数，则的值是         ．

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数　f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围.

【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。根据函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，可知导函数在给定区间恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)_max＝1，从而得到a≥e

f ′(x)＝＝，因为　f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故　f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)_max＝1，故lna≥1，a≥e，

18. 难度：简单

已知指数函数，当时，有，解关于x的不等式

【解析】本试题主要考查了指数函数，对数函数性质的运用。首先利用指数函数，当时，有，，得到，从而

等价于，联立不等式组可以解得

【解析】
∵ 在时，有， ∴  。

于是由，得，

解得， ∴ 不等式的解集为。

19. 难度：简单

已知函数

（1）若函数的图象经过P（3，4）点，求a的值；

（2）比较大小，并写出比较过程；

（3）若，求a的值.

【解析】本试题主要考查了指数函数的性质的运用。第一问中，因为函数的图象经过P（3，4）点，所以，解得，因为，所以.

（2）问中，对底数a进行分类讨论，利用单调性求解得到。

（3）中，由知，.，指对数互化得到，，所以，解得所以， 或 .

【解析】
⑴∵函数的图象经过∴，即.        … 2分

又，所以.             ………… 4分

⑵当时，;

当时，. ……………… 6分

因为，，

当时，在上为增函数，∵，∴.

即.当时，在上为减函数，

∵，∴.即.      …………………… 8分

⑶由知，.所以，（或）.

∴.∴，       … 10分

∴ 或 ，所以， 或 .

20. 难度：简单

函数是定义在上的奇函数，且。

（1）求实数a，b，并确定函数的解析式；

（2）判断在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；

（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值。（本小问不需要说明理由）

【解析】本试题主要考查了函数的解析式和奇偶性和单调性的综合运用。第一问中，利用函数是定义在上的奇函数，且。

解得，

（2）中，利用单调性的定义，作差变形判定可得单调递增函数。

（3）中，由2知，单调减区间为，并由此得到当，x=-1时，，当x=1时，

【解析】
（1）是奇函数，。

即，，………………2分

，又，，，

（2）任取，且，

，………………6分

，

，，，，

在（-1，1）上是增函数。…………………………………………8分

（3）单调减区间为…………………………………………10分

当，x=-1时，，当x=1时，。

21. 难度：简单

已知幂函数满足。

（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数，在区间上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

【解析】本试题主要考查了函数的解析式的求解和函数的最值的运用。第一问中利用，幂函数满足，得到

因为，所以k=0，或k=1，故解析式为

（2）由（1）知，，，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，结合二次函数的对称轴，和开口求解最大值为5.，得到

（1）对于幂函数满足，

因此，解得，………………3分

因为，所以k=0，或k=1，当k=0时，，

当k=1时，，综上所述，k的值为0或1，。………………6分

（2）函数，………………7分

由此要求，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，

当时，，因为在区间上的最大值为5，

所以，或…………………………………………10分

解得满足题意

22. 难度：简单

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

【解析】
(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．