2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若且，则x是  (     )

A．第一象限角            B．第二象限角     

   C．第三象限角            D．第四象限角

2. 难度：简单

下列命题正确的是      （   ）

    A．若·=·，则=        B．若，则·=0

    C．若//，//，则//          D．若与是单位向量，则·=1

3. 难度：简单

一个棱柱为正四棱柱的条件是（ 　）

    A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

    B．底面是正方形，有两个侧面是矩形

    C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

    D．每个底面是全等的矩形

4. 难度：简单

若a, b表示两条直线，表示平面，下面命题中正确的是（   ）

    A．若a⊥, a⊥b，则b//          B．若a//, a⊥b，则b⊥α

    C．若a⊥,b，则a⊥b           D．若a//, b//，则a//b

5. 难度：简单

正方形ABCD的边长为1，记＝，＝，＝，则下列结论错误的是（   ）

    A．(－)·＝0                  B．(＋－)·＝0

    C．(|－| －||)＝         D．|＋＋|＝

6. 难度：简单

使为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（    ）

    A．           B．           C．           D．

7. 难度：中等

函数y=A(sinwx＋j)(w>0，，xÎR)的部分图象如图所示，则函数表达式为（   ）

A．

    B．

    C． 

    D．

8. 难度：中等

在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（　  ）

    A．1∶         B．1∶9　　       C．1∶　     D．1∶

9. 难度：困难

如图所示 是的边上的中点，则向量（   ）

    A．    B．      

    C．    D．

10. 难度：困难

一个各条棱都相等的四面体，其外接球半径，则此四面体的棱长为（     ）

A.             B.              C.           D. 

二、填空题

11. 难度：困难

设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是         

12. 难度：困难

已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.

13. 难度：简单

已知，sin()=－ sin则cos=__________

14. 难度：简单

如果函数的图像关于点（，0）中心对称，那么的最小值为         

15. 难度：中等

如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：

①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；

②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；

③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；

④若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满.

其中真命题的代号是：            （写出所有正确命题的代号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，求下列各式的值：

（1） 

（2）

【解析】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用。第一问中利用将分子分母同时除以得，原式=第二问中，构造分式表达式，原式= =  =

17. 难度：简单

设是直角坐标系中，x轴、y轴正方向上的单位向量，设  

(1)若(,求.

(2)若时，求的夹角的余弦值.

(3)是否存在实数，使，若存在求出的值，不存在说明理由.

【解析】第一问中，利用向量的数量积为0，解得为m=-2

第二问中，利用时，结合向量的夹角的余弦值公式解得

第三问中，利用向量共线，求解得到m不存在。

（1）因为设是直角坐标系中，x轴、y轴正方向上的单位向量，设  

（2）因為

即；

（3）假設存在实数，使，則有

因此不存在；

18. 难度：简单

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

19. 难度：中等

设向量.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若函数，求的最小值、最大值.

【解析】第一问中，利用向量的坐标表示，表示出数量积公式可得

第二问中，因为，即换元法

令得到最值。

【解析】
（I）

（II）由（I）得：

令

.

时，

20. 难度：困难

某港口海水的深度（米）是时间（时）（）的函数，记为：

已知某日海水深度的数据如下：

（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象

（I）试根据以上数据，求出函数的振幅、最小正周期和表达式；

（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）

【解析】第一问中利用三角函数的最小正周期为： T=12   振幅：A=3，b=10，  

第二问中，该船安全进出港，需满足：即：          ∴又   ，可解得结论为或得到。

21. 难度：困难

函数在同一个周期内，当 时,取最大值1，当时，取最小值。

（1）求函数的解析式

（2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象？

（3）若函数满足方程求在内的所有实数根之和.

【解析】第一问中利用

又因

又       函数

第二问中，利用的图象向右平移个单位得的图象

再由图象上所有点的横坐标变为原来的.纵坐标不变，得到的图象，

第三问中，利用三角函数的对称性，的周期为

在内恰有3个周期，

并且方程在内有6个实根且

同理，可得结论。

【解析】
(1)

又因

又       函数

(2)的图象向右平移个单位得的图象

再由图象上所有点的横坐标变为原来的.纵坐标不变，得到的图象，

(3)的周期为

在内恰有3个周期，

并且方程在内有6个实根且

同理，

故所有实数之和为