2013届安徽省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若A，B，当取最小值时，的值等于（   ）

A．  B．  C．  D．

2. 难度：简单

空间四边形中，，，则<>的值是（   ）

A．       B．      C．－      D．

3. 难度：简单

下列说法中正确的是（   ）

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B．“”与“ ”不等价

C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”

D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

4. 难度：简单

已知条件，条件，则是的（   ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（    ）

A．       B．     

C．      D．

6. 难度：简单

某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，   否则，则等式的实际意义是（    ）

A、第4名工人操作了3台织布机；          B、第4名工人操作了台织布机；

C、第3名工人操作了4台织布机；          D、第3名工人操作了台织布机.

7. 难度：中等

定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的 （A）、（B）所对应的运算结果可能是  （    ）

 

   （1）       （2）       （3）       （4）       （A）     （B）

A.    B. 

C.    D.

8. 难度：中等

已知，且为虚数单位，则的最小值是  (     )

（A）     .          （B）.           （C）.            （D）.

9. 难度：困难

直线与抛物线所围成的图形面积等于   （     ）

   A、1        B、        C、        D、

10. 难度：困难

函数的单调递减区间是.    （    ）

A、(–1, 2)                         B、(–∞, –1)与(1, +∞)

C、(–∞, –2)与(0, +∞)            D、(–2，0)

11. 难度：困难

方程x³－6x²+9x－10=0的实根个数是                         (       )

  A．3          B．2        C．1         D．0

12. 难度：困难

已知 为偶函数，则a+b=  （   ）

A．-6     B．-12    C．4        D．-4

二、填空题

13. 难度：简单

若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则______________

14. 难度：简单

根据条件：a、b、c满足，且a+b+c=0，下列推理正确的是         （填上序号）

  ①，②，③，④

15. 难度：中等

若命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______。

16. 难度：中等

定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列    叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为：     _ ；这个数列的前n项和的计算公式为:_                        ___.

三、解答题

17. 难度：简单

命题方程有两个不等的正实数根， 命题方程无实数根。若“或”为真命题，求的取值范围。

【解析】本试题主要考查了命题的真值问题，以及二次方程根的综合运用。

【解析】
“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或q和p都是真命题

当p为真命题时，则，得；

当q为真命题时，则

当q和p都是真命题时，得

18. 难度：简单

已知复数，，求的取值范围。

【解析】利用复数相等的概念，结合三角方程，把参数

19. 难度：中等

已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

【解析】本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。

先反设，然后推理论证，最后退出矛盾。证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.显然不成立。

证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.                                      ①

由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

20. 难度：困难

如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：

（Ⅰ）异面直线与的距离；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.

【解析】第一问中，利用建立空间直角坐标系

【解析】
（I）以B为原点，、分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于，

在三棱柱中有

,

设

又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为1.

（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量与的夹角.

21. 难度：困难

已知f(n)=(2n+7)3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n)，猜测出最大的m的值。并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。

【解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2(k≥2)  证明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

证明  n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36

22. 难度：困难

设函数f（x）=在[1，+∞上为增函数.  

（1）求正实数a的取值范围；

（2）比较的大小，说明理由；

（3）求证：（n∈N*, n≥2）

【解析】第一问中，利用

解:（1）由已知：，依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立

∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立    ∴a－1≥0即：a≥1

（2）∵a=1   ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞)上为增函数，

∴n≥2时：f（）=

  

 (3)  ∵   ∴