2013届江西省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）_满分5

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1. 难度：简单
已知复数，则复数的共轭复数为（） A． B． C． D．

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2. 难度：简单
用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（） A． B． C． D．

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3. 难度：简单
连续抛掷一枚骰子两次，得到的点数依次记为（m，n），则点（m，n）恰能落在不等式组所表示的平面区域内的概率为（） A． B． C． D．

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4. 难度：简单

某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下一组数据：

	2	4	5	6	8
	30	40	60	50	70

若与之间的关系符合回归直线方程，则的值是（）

A．17.5 B．27.5 C．17 D．14

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5. 难度：简单
我校为了提高学生的英语口语水平，招聘了6名外籍教师，要把他们安排到3个宿舍去住，每个宿舍住2人，其中教师甲必须住在一号宿舍，教师乙和教师丙不能住到三号宿舍，则不同的安排方法数共有（） A．6 B．9 C．12 D．18

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6. 难度：简单
若、、大小关系是（） A． B． C． D．

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7. 难度：中等
对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 2²＝1＋3　　3²＝1＋3＋5　　 4²＝1＋3＋5＋7 2³＝3＋5　　3³＝7＋9＋11 　　4³＝13＋15＋17＋19 根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则( ) A． B． C． D．

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8. 难度：中等
设函数在定义域内可导，图象如下图所示，则导函数的图象可能为（　　）

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9. 难度：困难
设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M—N=240，则展开式中项的系数为（） A．150 B．500 C．—150 D．—500

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10. 难度：困难
设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（） A． B． C． D．

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11. 难度：困难
设随机变量服从正态分布，则。

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12. 难度：困难
由曲线，y=6x围成的封闭图形的面积为。

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13. 难度：简单
设的三边长分别为，的面积为,内切圆半径为,则,类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为,内切球半径为，四面体的体积为,则。

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14. 难度：简单
一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P,点P恰好落在圆内的概率是__________。

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15. 难度：中等
已知函数，，若不等式的解集为.则实数的取值范围为 .

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16. 难度：简单
已知，（其中） ⑴求及； ⑵试比较与的大小，并说明理由．【解析】第一问中取，则； …………1分对等式两边求导，得取，则得到结论第二问中，要比较与的大小，即比较：与的大小，归纳猜想可得结论当时，；当时，；当时，；猜想：当时，运用数学归纳法证明即可。【解析】 ⑴取，则； …………1分对等式两边求导，得，取，则。 …………4分 ⑵要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，；当时，；当时，； …………6分猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即，当时, 而 ∴ 即时结论也成立， ∴当时，成立。 …………11分综上得，当时，；当时，；当时，

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17. 难度：简单

某中学研究性学习小组，为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了 50名学生.调査结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般.

（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？

高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表

	爱看课外书	不爱看课外书	总计
作文水平好
作文水平一般
总计

（Ⅱ）将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

【解析】本试题主要考查了古典概型和列联表中独立性检验的运用。结合公式为判定两个分类变量的相关性，

第二问中，确定 6ec8aac122bd4f6e

结合互斥事件的概率求解得到。

【解析】
因为2×2列联表如下

	爱看课外书	不爱看课外书	总计
作文水平好	18	6	24
作文水平一般	7	19	26
总计	25	25	50

6ec8aac122bd4f6e

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18. 难度：中等
已知函数．（1）试求的值域； (2)设，若对，，恒成立，试求实数的取值范围【解析】第一问利用第二问中若，则，即当时，，又由（Ⅰ）知若对，，恒有成立，即转化得到。【解析】（1）函数可化为, ……5分 (2) 若，则，即当时，，又由（Ⅰ）知． …………8分若对，，恒有成立，即，，即的取值范围是

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19. 难度：困难

在本次数学期中考试试卷中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”.某考生每道题都给出一个答案, 且已确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：

（1）选择题得满分(50分)的概率；

（2）选择题所得分数的数学期望。

【解析】第一问总利用独立事件的概率乘法公式得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，

所以得分为50分的概率为：

第二问中，依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝

得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，

所以概率为

得分为40分的概率为：

同理求得，得分为45分的概率为：

得分为50分的概率为：

得到分布列和期望值。

【解析】
（1）得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，

所以得分为50分的概率为： …………5分

（2）依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝ …………6分

得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，

所以概率为 …………7分

得分为40分的概率为： …………8分

同理求得，得分为45分的概率为： …………9分

得分为50分的概率为： …………10分

所以得分的分布列为

35

40

45

50

数学期望

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20. 难度：困难
已知函数在处取得极值2. ⑴ 求函数的解析式； ⑵ 若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；【解析】第一问中利用导数又f(x)在x=1处取得极值2，所以，所以第二问中，因为，又f(x)的定义域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上单调递增，在上单调递减，当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增，则有，得【解析】 ⑴ 求导，又f(x)在x=1处取得极值2，所以，即，所以…………6分 ⑵ 因为，又f(x)的定义域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上单调递增，在上单调递减，当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增，则有，得， …………9分当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减，则有得 …………12分 .综上所述，当时，f(x)在(m,2m+1)上单调递增，当时，f(x)在(m,2m+1)上单调递减；则实数m的取值范围是或

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21. 难度：困难
已知（1）求函数在上的最小值（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围（3）证明对一切，都有成立【解析】第一问中利用当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，第二问中，，则设，则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立，第三问中问题等价于证明，，由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立【解析】（1）当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，， …………4分（2），则设，则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立， …………9分（3）问题等价于证明，，由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立