2013届福建省高二下学期期中文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是（）

① 因为指数函数y = a ^x（a > 1 ）是增函数；②所以y = 2 ^x是增函数；

③ 而y = 2 ^x是指数函数。

A．①       Ｂ．②      Ｃ．③    Ｄ．  ①②

2. 难度：中等

设，且为正实数，则（）

A．0    B．      C．1        D．

3. 难度：中等

函数y=x²cosx的导数为（）

A．y′=x²cosx-2xsinx    B．y′=2xcosx+x²sinx

 C．y′=2xcosx-x²sinx    D．y′=xcosx-x²sinx

4. 难度：中等

条件“”，条件“”，则是的（   ）

A．充分而不必要条件                 B．必要而不充分条件  

C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

下面的流程图，求输出的 y 的表达式是（）

A．          B．    

C．          D．

6. 难度：中等

已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（   ）

A.=1.23x＋4       B. =1.23x+5

C. =1.23x+0.08     D. =0.08x+1.23

7. 难度：中等

函数在区间上的最大值是（   ）

A．          B．              C．              D．  

8. 难度：中等

定义：复数 b + a i 是复数 z = a + b i（a、b ∈R ）的转置复数，记为 z ^/ = b + a i ；复数a－b i 是复数 z = a + b i（a、b ∈R ）的共轭复数，记为 = a － b i 。给出下列三个命题：① z ^/ = i · ; ②; ③ .

其中真命题的个数为（） 

A．0       Ｂ．1         Ｃ．2      Ｄ．3  

9. 难度：中等

若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A．      B．         C．      D．

10. 难度：中等

如图所示的程序框图运行的结果是（    ）

                   A．          B．             C．     D．

11. 难度：中等

函数的图象大致是（    ）

二、填空题

12. 难度：中等

类比圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，距圆心较近的弦较长”，可得球的性质_       

13. 难度：中等

曲线处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是_      。

14. 难度：中等

为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：

	患慢性气管炎	未患慢性气管炎	合计
吸烟	20	20	40
不吸烟	5	55	60
合计	25	75	100

  根据列联表数据，求得K²=          _ （保留3位有效数字），根据下表，有**_把握认为患慢性气管炎与吸烟有关。

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

15. 难度：中等

已知函数的定义域为R，满足，当时，，且，则使得的取值范围是         _。

16. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题,如图所示,同一个平面内有两个边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为_    .

17. 难度：中等

如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：

①若，对于内的任意实数（），恒成立；

②函数是奇函数的充要条件是；

③若，，则方程必有3个实数根；

④，的导函数有两个零点；

其中所有正确结论的序号是**_．

三、解答题

18. 难度：中等

（本小题满分6分）

已知，，。求证中至少有一个是非负数。

19. 难度：中等

（本小题满分10分）

某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示

年份200x（年）	0	1	2	3	4
人口数 y （十万）	5	7	8	11	19

（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；

（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于x的线性回归方程；

（Ⅲ）据此估计2005年该城市人口总数。

参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，，

参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式

20. 难度：中等

(本小题满分12分)

已知是复平面内的三角形，两点对应的复数分别为和，且,

（Ⅰ）求的顶点C的轨迹方程。

（Ⅱ）若复数满足，探究复数对应的点的轨迹与顶点C的轨迹的位置关系。

21. 难度：中等

(本小题满分12分)

某分公司经销某种产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9 ≤ x ≤ 11）时，一年的销售量为万件。（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？

22. 难度：中等

(本小题满分12分)

函数.

（Ⅰ）若，且在处取得极小值，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在上是增函数，试探究应满足什么条件；

（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．

23. 难度：中等

(本小题满分14分)

设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，

试问：在区间上是否存在 （）个正数…，使得成立？请证明你的结论.