2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x ²－2x－3≤0}，则A∩(_RB)＝

A．(1，4)             B．(3，4)            C．(1，3)          D．(1，2)

2. 难度：简单

已知i是虚数单位，则＝

A．1－2i              B．2－i             C．2＋i             D．1＋2i

3. 难度：简单

设aR，则“a＝1”是“直线l₁：ax＋2y－1＝0与直线l₂：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件          

C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

5. 难度：简单

设a，b是两个非零向量．

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb

D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|

6. 难度：简单

若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．60种             B．63种             C．65种             D．66种

7. 难度：中等

设S _n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a _n}的前n项和，则下列命题错误的是

A．若d＜0，则数列{S _n}有最大项

B．若数列{S _n}有最大项，则d＜0

C．若数列{S _n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S _n＞0

D．若对任意的nN*，均有S _n＞0，则数列{S _n}是递增数列

8. 难度：中等

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|＝|F₁F₂|，则C的离心率是

A．                B．

C．                  D．

9. 难度：困难

设a＞0，b＞0．

A．若，则a＞b

B．若，则a＜b

C．若，则a＞b

D．若，则a＜b

10. 难度：困难

已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

二、填空题

11. 难度：困难

已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm³．

12. 难度：困难

若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．

13. 难度：简单

设公比为q(q＞0)的等比数列{a _n}的前n项和为{S _n}．若，，则q＝______________．

14. 难度：简单

若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．

15. 难度：中等

在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．

16. 难度：中等

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C₁：y＝x ²＋a到直线l：y＝x的距离等于C₂：x ²＋(y＋4) ² ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．

17. 难度：简单

设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x ²－ax－1)≥0，则a＝______________．

三、解答题

18. 难度：简单

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，

sinB＝cosC．

(Ⅰ)求tanC的值；

(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．

19. 难度：中等

已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

20. 难度：困难

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

21. 难度：困难

如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

22. 难度：困难

已知a＞0，bR，函数．

(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．