2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合M={-1,0,1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=

A、{0}     B、{0,1}   C、{-1,1}   D、{-1,0,0}

2. 难度：简单

命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是

A、若α≠，则tanα≠1   B、若α=，则tanα≠1

C、若tanα≠1，则α≠  D、若tanα≠1，则α=

3. 难度：简单

某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

4. 难度：简单

设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A、y与x具有正的线性相关关系

B、回归直线过样本点的中心（，）

C、若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D、若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

5. 难度：简单

已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A、-=1  B、-=1  C、-=1    D、-=1[w~#

6. 难度：简单

函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为

A、[ -2 ,2]    B、[-,]      C、[-1,1 ]    D、[- , ]

7. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则

A、   B、    C、    D、

8. 难度：中等

已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为

A、  B、  C、  D、 

二、填空题

9. 难度：困难

在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.

10. 难度：困难

不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

11. 难度：困难

如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______.

12. 难度：困难

已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.

13. 难度：简单

( -)⁶的二项展开式中的常数项为     .（用数字作答）

14. 难度：简单

如果执行如图3所示的程序框图，输入,n=3,则输出的数S=     .

15. 难度：中等

函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

（1）若，点P的坐标为（0，），则       ;

（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为       .

16. 难度：中等

设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁,x₂,…，x_N依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段个数，并对每段C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置.

（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第___个位置；

（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第___个位置.

三、解答题

17. 难度：简单

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）		30	25		10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.

（注：将频率视为概率）

18. 难度：简单

如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……

（1）   若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ a_n }的通项公式.

（2）   证明：数列{ a_n }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

20. 难度：困难

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；

（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

21. 难度：困难

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线C₁的方程；

（Ⅱ）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

22. 难度：困难

已知函数=，其中a≠0

（1）   若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.