2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若复数z满足zi=1-i，则z等于

A、-1-i     B、1-i   C、-1+i  D、1=i

2. 难度：简单

等差数列{a_n}中，a₁+a₅=10,a₄=7,则数列{a_n}的公差为

A、1   B、2   C、3    D、4

3. 难度：简单

下列命题中，真命题是

A、

B、

C、a+b=0的充要条件是=-1

D、a>1,b>1是ab>1的充分条件

4. 难度：简单

一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是

A、球  B、三棱柱  C、正方形   D、圆柱

5. 难度：简单

下列不等式一定成立的是

A、

B、

C、

D、

6. 难度：简单

如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A、   B、   C、   D、

7. 难度：中等

设函数则下列结论错误的是

A.D（x）的值域为{0,1}

B. D（x）是偶函数

C. D（x）不是周期函数

D. D（x）不是单调函数

8. 难度：中等

已知双曲线的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A、   B、  C、3   D、5

9. 难度：困难

若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为

      A、-1       B、1            C、              D、2

10. 难度：困难

函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f（x）在[1,3]上的图像是连续不断的；

②f（x）在[1,]上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；

④对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1,3]，有

其中真命题的序号是

A、①②           B.①③                C.②④             D.③④

二、填空题

11. 难度：困难

（a+x）⁴的展开式中x³的系数等于8，则实数a=_________

12. 难度：困难

阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_________________

13. 难度：简单

已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.

14. 难度：简单

数列{a_n}的通项公式，前n项和为S_n，则S₂₀₁₂=___________

15. 难度：中等

对于实数a和b，定义运算“*”：

设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是_________________

三、解答题

16. 难度：中等

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X₁，生产一辆乙品牌轿车的利润为X₂，分别求X₁，X₂的分布列；

（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由

【解析】

（2）

	1	2	3		1.8	2.9
P				P

（3）由（2）得

17. 难度：简单

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°

（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°

（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°

（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin²（-18°）cos²48°

（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin²（-25°）cos²55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论

【解析】

18. 难度：简单

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点。

（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若二面角A-B₁EA₁的大小为30°，求AB的长

【解析】

19. 难度：中等

如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率。过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8

（Ⅰ）求椭圆E的方程。

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由

【解析】

20. 难度：困难

已知函数f（x）=e^x＋ax²-ex，a∈R[

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P

【解析】、

21. 难度：困难

设曲线2x²+2xy+y²=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为x²+y²=1。

（Ⅰ）求实数a，b的值

（Ⅱ）求A²的逆矩阵

【解析】

22. 难度：困难

已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c∈R，且

【解析】

23. 难度：困难

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2,0）

【解析】