2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数（2+i）²等于

A.3+4i   B.5+4i   C.3+2i   D.5+2i

【解析】

2. 难度：简单

已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是

A.NM   B.M∪N=M   C.M∩N=N   D.M∩N={2}

【解析】显然A，B,C错，D正确；

3. 难度：简单

已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是

A.x=-  B.x-1   C.x=5    D.x=0

【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1)+2=0,所以x=0.D正确.

4. 难度：简单

一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是

  A 球     B  三棱锥    C  正方体   D 圆柱

【解析】分别比较A,B,C的三视图不符合条件，D符合.

5. 难度：简单

已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

A              B       C     D      

【解析】C正确.

6. 难度：简单

阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于

A -3      B  -10       C  0        D  -2 

【解析】

7. 难度：中等

直线x+-2=0与圆x²+y²=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于

A.    B .     C.        D.1

【解析】B正确.

8. 难度：中等

函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是

A.x=    B.x=       C.x=-      D.x=-

【解析】把x=-代入后得到f(x)=-1，因而对称轴为x=-，C正确.

9. 难度：困难

设,则f(g(π))的值为

   A 1         B  0            C  -1             D  π

【解析】

10. 难度：困难

若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为

      A.-1       B.1            C.               D.2

【解析】

11. 难度：困难

数列{a_n}的通项公式其前n项和为S_n，则S₂₀₁₂等于

      A.1006       B.2012      C.503        D.0

【解析】

12. 难度：困难

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：

    ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.

其中正确结论的序号是

   A.①③     B.①④     C.②③    D.②④

【解析】

二、填空题

13. 难度：简单

在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______

【解析】

14. 难度：简单

一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______

【解析】

15. 难度：中等

已知关于x的不等式x²-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________

【解析】

16. 难度：中等

某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。

【解析】走线路最消费用16.

三、解答题

17. 难度：简单

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55.

（Ⅰ）求a_n和b_n；

（Ⅱ）现分别从{a_n}和{b_n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率

【解析】

18. 难度：简单

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（I）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

【解析】

19. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上的一点。

Ⅰ求三棱锥A-MCC₁的体积；

Ⅱ当A₁M+MC取得最小值时，求证：B₁M⊥平面MAC

【解析】

20. 难度：困难

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°

（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°

（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°

（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin（-18°）cos48°

（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin（-25°）cos55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论

【解析】

21. 难度：困难

如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上。

（1）   求抛物线E的方程；

（2）   设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点

【解析】

22. 难度：困难

已知函数且在上的最大值为，

（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明

【解析】

证明如下：