2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程的一个根是

A．               B．           C．           D．

2. 难度：中等

命题“，”的否定是

A．，                        B．，

C．，                         D．，

3. 难度：中等

已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

A．                  B．  

C．                   D．

4. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．                  B． 

C．                 D．

5. 难度：中等

设，且，若能被13整除，则

A．0                    B．1             

C．11                   D．12

6. 难度：中等

设是正数，且，，，则 

A．                   B． 

C．                   D．

7. 难度：中等

定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①；   ②；    ③；    ④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为

A、① ②                B、③ ④            C、① ③            D、② ④

8. 难度：中等

如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在

扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A．                    B．

C．                      D．

9. 难度：中等

函数在区间上的零点个数为

A．4                    B．5

C．6                    D．7

10. 难度：中等

我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是

 A、         B．     C．       D．

二、填空题

11. 难度：中等

设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角         ．

12. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果          .

13. 难度：中等

回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有          个；

（Ⅱ）位回文数有         个．

14. 难度：中等

如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则

（Ⅰ）双曲线的离心率        ；

（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值        .

15. 难度：中等

（选修4-1：几何证明选讲）

如图，点D在的弦AB上移动，，连接OD，过点D 作的垂线交于点C，则CD的最大值为          . 

16. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为          .

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和

19. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．

（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；

（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

20. 难度：中等

本小题满分12分）

根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

降水量X
工期延误天数	0	2	6	10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.

21. 难度：中等

（本小题满分13分）

设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注：当为正有理数时，有求导公式.