2012届江西省上饶市高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若·i＝1＋i，则复数Z的虚部为

    A．1              B．i              C．－1            D．1－i

2. 难度：中等

若集合A＝｛－1，0，1｝，B＝｛y｜y＝cosx，x∈A｝，则A∩B＝

    A．｛0｝           B．｛1｝           C．｛0，1｝        D．｛－1，0，1｝

3. 难度：中等

已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则此双曲线的离心率为

    A．            B．           C．          D．

4. 难度：中等

下面求1＋4＋7＋…＋2008的值的程序中，正整数m的最大值为

    A．2009           B．2010           C．2011           D．2012

5. 难度：中等

若a₀＋a₁（2x－1）＋a₂（2x－1）²＋a₃（2x－1）³＋a₄（2x－1）⁴＝x⁴，则a₂＝

    A．             B．             C．             D．

6. 难度：中等

设数列｛｝的前n项和为S_n（n∈N），关于数列｛｝有下列四个命题：

（1）若｛｝既是等差数列又是等比数列，则a_n＝a_n＋1（n∈N^*）；

（2）若S_n＝An²＋Bn（A，B∈R，A、B为常数），则｛｝是等差数列；

（3）若S_n＝1－（－1）ⁿ，则｛｝是等比数列；

（4）若｛｝是等比数列，则S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m（m∈N^*）也成等比数列；其中正确的命题的个数是

    A．4              B．3              C．2              D．1

7. 难度：中等

已知动点P（x，y）满足约束条件，O为坐标原点，定点A（6，8），则在上的投影的范围

    A．［］       B．［］       C．         D．［］

8. 难度：中等

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为，以顶点A为球心，2半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于

    A．   B．     C．π    D．

9. 难度：中等

对任意的实数a，b，记max｛a，b｝＝若F（x）＝max｛f（x），g（x）｝（x∈R），其中奇函数y＝f（x）在x＝1时有极小值－2，y＝g（x）是正比例函数，函数y＝f（x）（x＞0）与函数y＝g（x）的图象如图所示，则下列关于函数y＝F（x）的说法中，正确的是

    A．y＝F（x）为奇函数

    B．y＝F（x）有极大值F（1）

    且有极小值F（－1）

    C．y＝F（x）的最小值为－2且最大值为2

    D．y＝F（x）在（－3，0）上不是单调函数

10. 难度：中等

函数f（x）＝（k＞0）有且仅有两个不同的零点，（＞），则以下有关两零点关系的结论正确的是

    A．sin＝cos                       B．sin＝－cos

    C．sin＝cos                       D．sin＝－cos

二、填空题

11. 难度：中等

如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为　      

12. 难度：中等

数轴上方程Ax＋B＝0（A≠0）表示一个点，平面直角坐标系内方程Ax＋By＋C＝0（A²＋B²≠0）表示一条直线，空间直角坐标系中方程　       　表示一个平面．

13. 难度：中等

已知O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），向正方形OABC内投一个点P，点P落在函数y＝x^α（α＞0）与y＝x所围封闭图形内的概率为，则实数α的取值是　 

14. 难度：中等

把5个不同的小球放入甲、乙、丙3个不同的盒子中，在每个盒子中至少有一个小球的条件下，甲盒子中恰有3个小球的概率为　      

15. 难度：中等

（A）将圆M：x²＋y²＝a（a＞0）的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，正好与直线x－y＝1相切，若以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆M的极坐标方程为　      

    （B）关于x的不等式：2－x²＞|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是   

三、解答题

16. 难度：中等

（12分）已知函数f（x）＝sinωx（cosωx＋sinωx）＋（ω∈R，x∈R）最小正周期为π，且图象关于直线x＝π对称．

    （1）求f（x）的最大值及对应的x的集合；

    （2）若直线y＝a与函数y＝1－f（x），x∈［0，］的图象有且只有一个公共点，求实数a的范围．

17. 难度：中等

（12分）2009年，福特与浙江吉利就福特旗下的沃尔沃品牌业务的出售在商业条款上达成一致，据专家分析，浙江吉利必须完全考虑以下四个方面的挑战：第一个方面是企业管理，第二个方面是汽车制造技术，第三个方面是汽车销售，第四个方面是人才培养．假设以上各种挑战各自独立，并且只要第四项不合格，或第四项合格且前三项中至少有两项不合格，企业将破产，若第四项挑战失败的概率为，其他三项挑战失败的概率分别为.

    （1）求浙江吉利不破产的概率；

    （2）专家预测：若四项挑战均成功，企业盈利15亿美元；若第一、第二、第三项挑战中仅有一项不成功且第四项挑战成功，企业盈利5亿美元；若企业破产，企业将损失10亿美元．设浙江吉利并购后盈亏为X亿美元，求随机变量X的期望．

18. 难度：中等

（12分）已知数列｛｝的首项a₁＝5，前n项和为S_n，且S_n＋1＝2S_n＋n＋5

    （1）求证｛1＋｝为等比数列，并求数列｛｝的通项公式；

    （2）是数列｛｝前n项和，求T_n．

19. 难度：中等

（12分）已知函数f（x）＝lnx－（a≠0）

    （1）若a＝3，b＝－2，求f（x）在［，e］的最大值；

    （2）若b＝2，f（x）存在单调递减区间，求a的范围．

20. 难度：中等

（13分）如图分别是正三棱台ABC－A₁B₁C₁的直观图和正视图，O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点．

    （1）求正三棱台ABC－A₁B₁C₁的体积；

    （2）求平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦；

    （3）若P是棱A₁C₁上一点，求CP＋PB₁的最小值．

21. 难度：中等

（14分）已知：圆C：x²＋（y－a）²＝a²（a＞0），动点A在x轴上方，圆A与x轴相切，且与圆C外切于点M

    （1）若动点A的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；

    （2）动点B也在x轴上方，且A，B分别在y轴两侧．圆B与x轴相切，且与圆C外切于点N．若圆A，圆C，圆B的半径成等比数列，求证：A，C，B三点共线；

    （3）在（2）的条件下，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线相交于点T，若的最小值为2，求直线AB的方程．