2013届福建省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法正确的是

Ａ．若，则是函数的极值

Ｂ．若是函数的极值，则在处有导数

Ｃ．函数至多有一个极大值和一个极小值

Ｄ．定义在上的可导函数，若方程无实数解，则无极值

2. 难度：中等

复数，则的充要条件是

Ａ．          Ｂ．且    Ｃ．        Ｄ．

3. 难度：中等

下列计算错误的是

Ａ．                           Ｂ． 

Ｃ．                   Ｄ．

4. 难度：中等

已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为

Ａ．0                  Ｂ．            Ｃ．０或      Ｄ．0或1

5. 难度：中等

某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得

A.当时，该命题不成立                  B.当时，该命题成立

C.当时，该命题成立                   D.当时，该命题不成立

6. 难度：中等

函数y=x²cosx的导数为

A. y′=2xcosx－x²sinx        B.  y′=2xcosx+x²sinx

C.  y′=x²cosx－2xsinx         D. y′=xcosx－x²sinx

7. 难度：中等

求曲线，所围成图形的面积

A．1                  B．                C．9             D．

8. 难度：中等

神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有

A．3种                 B．6种             C．36种          D．48种

9. 难度：中等

某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为

A．2，6                B．3，5             C．5，3          D．6，2 

10. 难度：中等

四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是

(1 )               (2)               (3)              （4）

A．编号1               B. 编号2           C. 编号3         D. 编号4

二、填空题

11. 难度：中等

设，则　　　　　．

12. 难度：中等

某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有       种。

13. 难度：中等

设且，则　　　　　．

14. 难度：中等

当时，有；当时，有

；当时，有；

当时，有；

当时，你能得到的结论是：                                .

三、解答题

15. 难度：中等

（本小题8分）

一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.

（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

16. 难度：中等

（本小题9分）

求函数的单调递减区间．

17. 难度：中等

（本小题8分）

     如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.

(1) 求证：；

(2) 在任意中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式(只写结论,不必证明)

18. 难度：中等

（本小题9分）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，，点E是SD上的点，且

（Ⅰ）求证：对任意的，都有

（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

四、填空题

19. 难度：中等

已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是                    ．

20. 难度：中等

在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是                     。

五、解答题

21. 难度：中等

已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C   AB ，且C中含有3个元素；（2）（表示空集）。

22. 难度：中等

某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，最多有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

23. 难度：中等

（本小题满分14分）

在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）． (即

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．

24. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知函数.

(1)求在[0,1]上的极值；

(2)若对任意,不等式成立,求实数的取值范围；

(3)若关于的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数的取值范围.