2011-2012学年山西省高三第一次模拟试题理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （   ）

A.         B.             C.            D.  

2. 难度：中等

已知，则=（    ）

A.             B.           C.          D.

3. 难度：中等

如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为(    )

A.               B.          C.            D.

4. 难度：中等

已知为等差数列，若，则的值为（   ）

A.        B.           C.         D.

5. 难度：中等

“”是“函数有零点”的（    ）

A.充分非必要条件        B.充要条件     C.必要非充分条件      D.既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

在边长为1的正三角形中，，，且，则的最大值为（    ）

A.          B.             C.         D.

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是

A．或    B．或   C．或   D．或

8. 难度：中等

如下图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为（    ）

    A．           B．             C．          D．

9. 难度：中等

下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（    ）

    A.4                B.3.15              C.4.5              D.3

10. 难度：中等

已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（    ）

A.     B.    C.     D.

11. 难度：中等

已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是（   ）

A.           B.             C.             D.

12. 难度：中等

在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：①2013∈[1]；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的个数为（    ）

A.1          B.2           C.3               D.4

二、填空题

13. 难度：中等

若f(x)在R上可导， ,则       .

14. 难度：中等

设面积为S的平面四边形的第条边的边长为，P是该四边形内一点，点P到第条边的距离记为，若，则，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，Q是该三棱锥内的一点，点Q到第个面的距离记为，若等于       。

15. 难度：中等

已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P—ABC的体积为            

16. 难度：中等

已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为      。

三、解答题

17. 难度：中等

阅读下面材料：

    根据两角和与差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

18. 难度：中等

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．

(1)求质点P恰好返回到A点的概率；

(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥中， 

（1）求证：平面⊥平面

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

 （3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.

20. 难度：中等

设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；

（3）若的面积满足，求的值．

21. 难度：中等

已知函数

   （I）当的单调区间；

   （II）若函数的最小值；

   （III）若对任意给定的，使得

         的取值范围。

22. 难度：中等

如图，圆O₁与圆O₂相交于A、B两点，AB是圆O₂的直径，过A点作圆O₁的切线交圆O₂于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与圆O₁、圆O₂交于C，D两点。

    求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；

    (Ⅱ)AD=AE。

23. 难度：中等

在极坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。

(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；

(Ⅱ)求|BC|的长。

24. 难度：中等

已知关于x的不等式（其中）。

 (Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；

 (Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围。