2011-2012学年广东省山一中高三热身练理科数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

(本小题满分12分)   

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）试确定点的位置，使得平面；

（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

2. 难度：中等

(本小题满分14分)

设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为．

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；

（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望．

3. 难度：中等

(本小题满分14分)

已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）斜率为的直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．

4. 难度：中等

(本小题满分14分)

已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．

(1)求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；

(3)设,的导数为,令

求证：

5. 难度：中等

(本小题满分14分)

已知为实数，数列满足,当时，

(1)当时，求数列的前100项的和；

(2)证明：对于数列，一定存在，使；

(3)令,当时，求证：

二、选择题

6. 难度：中等

已知集合，，则 

A．    B．   C．{    D．

7. 难度：中等

若，，则  

    A．   B．    C．   D．

8. 难度：中等

4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有

A．12               B．10               C．8                D．6

9. 难度：中等

设f(x)=,则的值为

   A．    B．    C．    D． 

10. 难度：中等

下列四个命题中，正确的是

A．已知服从正态分布，且，则

B．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位

C．已知命题;命题．则命题“”是假命题

D．已知直线,，则的充要条件是 =-3

11. 难度：中等

给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是

第一个数是1，

第二个数比第一个数大1，

第三个数比第二个数大2，

第四个数比第三个数大3，……

以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

A．    B．

 C．       D．

12. 难度：中等

已知为内一点，满足, ,且,则的面积为

A.             B.          C.                    D.

13. 难度：中等

 记集合T= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,

M=,将M中的元素按从大到小排列，则第2012个数是

A.       B.

 C.       D.

三、填空题

14. 难度：中等

复数的虚部是       

15. 难度：中等

已知()ⁿ展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为____

16. 难度：中等

已知数列的前项和，且满足，则正整数_____

17. 难度：中等

设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：

若，，则            若，，则

若，，则         若，，则

其中真命题的序号是          

18. 难度：中等

已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为         

19. 难度：中等

(极坐标与参数方程)已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值为____________

20. 难度：中等

(几何证明选讲选做题)如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆0交于F，若∠CFE=，则∠DEB___________

四、解答题

21. 难度：中等

(本小题满分12分)

已知函数(>0,0<)的最小正周期为，且.

(1)求的值；

(2)若