2011-2012学年河北省高三模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

 设为虚数单位，则（  　）

    A．      B．      C．    D．

2. 难度：中等

设集合M＝{x|＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝(　　)

A．[1,2)             B．[1,2]           C．(2,3]              D．[2,3]

3. 难度：中等

已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（    ）

    A．         B．

    C．       D．

4. 难度：中等

设函数的最小正周期为，且，则

   （A）在单调递减         （B）在单调递减

   （C）在单调递增            （D）在单调递增

5. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；

B．命题“使得”的否定是：“ 均有”；

C．在中，“”是“”的充要条件；

D．“或”是“”的非充分非必要条件.

6. 难度：中等

为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)

A．64                    B．54            C．48                  D．27

7. 难度：中等

若实数x，y满足不等式的取值范围是 （    ）

    A．         B．       C．       D．

8. 难度：中等

设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则 （　　）

A．              B．2                  C．            D．4

9. 难度：中等

函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（  ）

A.个    B.  个   C.  个    D.  个

10. 难度：中等

一个正三棱柱的主（正）视图是长为，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于

A．          B．    C．      D． 

11. 难度：中等

 设  ，则    的值为

    A．3              B．             C．             D．2

12. 难度：中等

设偶函数对任意，都有，且当时，,则=

A.10              B.                C.             D. 

二、填空题

13. 难度：中等

已知直线，有下面四个命题：

   （1）；（2）；（3）；（4）

其中正确的命题______________。

14. 难度：中等

与双曲线的焦距相同，且经过点的双曲线方程为______________。

15. 难度：中等

下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，

月份	1	2	3	4
用水量	4.5	4	3	2.5

由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则=______________。

16. 难度：中等

给出下列命题：

①是幂函数；       ②函数的零点有2个；

③展开式的项数是6项；

④函数图象与轴围成的图形的面积是；

⑤若，且，则．

其中真命题的序号是                         （写出所有正确命题的编号）． 

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

     已知正数数列的前n项和为，且，数列满足    

（Ⅰ）求数列的通项公式与的前n项和；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：.

18. 难度：中等

(本小题满分12分)

    某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

视觉	视觉记忆能力
偏低	中等	偏高	超常
听觉 记忆 能力	偏低	0	7	5	1
中等	1	8	3
偏高	2		0	1
超常	0	2	1	1

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．

（I）试确定、的值；

（II）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；

（III）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．

19. 难度：中等

（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

20. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数

（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；

（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

21. 难度：中等

（本小题满分12分）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．

（Ⅰ）若，求点的轨迹方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

22. 难度：中等

选修4—1：几何证明选讲

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：

23. 难度：中等

选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系下，已知圆O：和直线，

（1）求圆O和直线的直角坐标方程；

（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.

24. 难度：中等

 选修4—5：不等式选讲

设函数．

(1)当时作出函数的图象；

(2)若不等式的解集为，求值．