2011-2012学年河南省豫东、豫北十所名校高三测试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足z（l +2i） =4 -2i（i为虚数单位），则|z|=

    A．l              B．2              C．             D．

2. 难度：中等

设全集 =

    A．{l}            B．{2}            C．{0,l,2}        D．{1,2}

3. 难度：中等

在同一平面直角坐标系下，下列曲线中，其右焦点与抛物线y² =4x的焦点重合的是

    A．                   B．

    C．                      D．=1

4. 难度：中等

已知等差数列{}的前n项和为S_n，且S₃ =6，则5a₁+a₇，的值为

    A．12             B．10             C．24             D．6

5. 难度：中等

函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为

6. 难度：中等

已知那么（展开式中含x²项的系数为

    A．125            B．135            C．-135           D．-125

7. 难度：中等

已知x，y满足不等式组则z=2x +y的最大值与最小值的比值为

    A．             B．             C．             D．2

8. 难度：中等

2011年3月17日上午，日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的燃料池进行了4次注水，如果直升飞机有A，B，C，D四架供选，飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选，且一架直升飞机只安排一名飞行员，则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为

    A．18             B．36             C．72             D．108

9. 难度：中等

已知a，b均为单位向量，则“”是“a+b=（）”的

    A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

    C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

已知长方体ABCD –A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为

    A．32             B．36             C．48             D．64

11. 难度：中等

下表是最近十届奥运会的年份、届别、主办国，以及主办国在上届获得的金牌数、当届获得的金牌数的统计数据：

某体育爱好组织，利用上表研究所获金牌数与主办奥运会之间的关系，求出主办国在上届所获金牌数（设为x）与在当届所获金牌数（设为y）之间的线性回归方程=，在2008年第29届北京奥运会上英国获得19块金牌，则据此线性回归方程估计在2012年第30届伦敦奥运会上英国将获得的金牌数为（所有金牌数精确到整数）

    A．29块           B．30块           C．31块           D．32块

12. 难度：中等

我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y =2012相交于A，B两点，且|AB| =2，则）=

    A．            B．      C．        D．-

二、填空题

13. 难度：中等

某旋转体中间被挖掉一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为         。

14. 难度：中等

已知等比数列{}的首项及公比均为正数，令，若是数列{}的最小项，则k=         。

15. 难度：中等

已知实数x∈[3，17]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于87的概率为         。

16. 难度：中等

如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为l，则所有顶点上的数之和等于         。

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=（cos A，cos B），n=（2c+b，a），且m⊥n．

    （I）求角A的大小；

    （Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

某班同学利用节假日进行社会实践，在25~ 55岁的人群中随机抽取n人进行了一次关于生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”．根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

    （I）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；

    （Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁年龄段的人数为X，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图所示的七面体是由三棱台ABC – A₁B₁C₁和四棱锥D- AA₁C₁C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB₁⊥平面ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．

（I）求证：平面AA₁C₁C₁⊥平面BB₁D；

（Ⅱ）求二面角A –A₁D—C₁的余弦值．

20. 难度：中等

椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F₁，F₂在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F₂，椭圆M与抛物线N的一个交点为A（3，）．

    （I）求椭圆M与抛物线N的方程；

    （Ⅱ）在抛物线N位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B，使得△AF₁B的外接圆圆心在x轴上？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx +b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx +b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知

    （I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；

    （Ⅱ）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且0<x₁<x₂，若存在实数x₃>0，使得．请结合（I）中的结论证明：

22. 难度：中等

如图，过半径为4的⊙O上的一点A引半径为3的⊙O′的切线，切点为B，若⊙O与⊙O′内切于点M，连接AM与⊙O′交于c点，求的值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆锥曲线C的参数方程为为参数）．

    （I）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线C的极坐标方程；

    （Ⅱ）若直线l过曲线C的焦点且倾斜角为60°，求直线l被圆锥曲线C所截得的线段的长度．

24. 难度：中等

对定义在区间l，上的函数，若存在开区间和常数C，使得对任意的都有，且对任意的x（a，b）都有恒成立，则称函数为区间I上的“Z型”函数．

    （I）求证：函数是R上的“Z型”函数；

    （Ⅱ）设是（I）中的“Z型”函数，若不等式对任意的xR恒成立，求实数t的取值范围．