2011-2012学年黑龙江省哈尔滨市高三第四次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于复平面的               （  ）

A．第一象限   B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2. 难度：中等

若的内角所对的边满足，则等于（  ）

    A．      B．    C．         D．

3. 难度：中等

将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（   ）

4. 难度：中等

已知向量则等于（  ）

A．3        B.      C. 　　  D.

5. 难度：中等

已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则  (  )

      A.2            B.4          C.6           D.8

6. 难度：中等

在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，同时从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差绝对值为2或4的概率是（ ）

A.       B.       C.        D.

7. 难度：中等

已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为  的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 （  ）

   A.     B.        C.        D.

8. 难度：中等

的展开式的系数是  （  ）

  A.         B.        C.0        D.3

9. 难度：中等

已知数列的通项公式为，设其前项和为，则使

  成立的最小自然数等于           （  ）

    A.83           B.82          C.81       D.80

10. 难度：中等

已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为   （  ）

    A.6           B.          C.          D.

11. 难度：中等

若正实数满足，则(　　)

A.有最大值4　　　         B．有最小值

C.有最大值              D．有最小值

12. 难度：中等

已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数=（  ）

A．        B． 

C．0             D．

二、填空题

13. 难度：中等

阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为___________

14. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是

15. 难度：中等

已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为____________

16. 难度：中等

下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________

（1）直线，若，则.类推出：向量，若则

（2）同一平面内，三条不同的直线，若，则.类推出：空间中，三条不同的直线，若，则

（3）任意则.类比出：任意则

（4）、以点为圆心，为半径的圆的方程是.类推出：以点为球心，为半径的球的方程是

三、解答题

17. 难度：中等

海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处.（假设游船匀速行驶）

（1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）

（2）又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远.

18. 难度：中等

某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：

组别	理科	文科
性别	男生	女生	男生	女生
人数	4	4	3	1

学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？（4分）

(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．（8分）

19. 难度：中等

如图，在三棱拄中，侧面，已知

（1）求证：；（4分）

 （2）、当为的中点时，求二面角的平面角的正切值.（8分）

20. 难度：中等

已知分别为椭圆的上下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）      求椭圆的方程；（5分）

（2）      已知点和圆，过点的动直线与圆相交于不同的两

点，在线段上取一点,满足且.

   求证：点总在某定直线上.（7分）

21. 难度：中等

已知函数（常数）.

（Ⅰ）求的单调区间；（5分）

（Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：.（7分）

22. 难度：中等

如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.

（Ⅰ）求的值；（4分）

（Ⅱ）若△的面积为， 四边形的面积为，求的值． （6分）

23. 难度：中等

已知曲线为参数），为参数）.

（1）化的方程为普通方程（4分）

（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线为参数）距离的最小值.（6分）

24. 难度：中等

设函数．

（１）解不等式（4分）

（２）若关于的不等式的解集不是空集，试求实数的取值范围.（6分）